买啤酒问题——朋友圈里的数学题

买啤酒

解决过程

这是我在朋友圈里面看到的一个脑筋急转弯。这道题乍看上去非常简单，那就拿笔开始推算呀！这个问题比较简单，估计很多人都能够用简单的推算计算出来。
但是作为一个程序员，肯定就会想到如果不止10元钱，100元，1000元的时候，这时候估计再用笔就有点困难了，但是，写一个简单的程序就可以搞定这个问题了。

class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int money = 10; //钱的数目
            int bottle = 0;  //当前的瓶子数
            int bottleGap = 0; //当前的瓶盖数
            int count = 0; //喝酒的瓶数
            while (money >= 2 || bottle >= 2 || bottleGap >= 4)
            {
                if (bottleGap >= 4)
                {
                    bottleGap -= 4;
                    bottle += 1;
                    bottleGap += 1;
                    count += 1;
                    Program.Print(count, money, bottle, bottleGap);
                    continue;
                }
                if (bottle >= 2)
                {
                    bottle -= 2;
                    bottle += 1;
                    bottleGap += 1;
                    count += 1;
                    Program.Print(count, money, bottle, bottleGap);
                    continue;
                }
                if (money >= 2)
                {
                    money -= 2;
                    bottle += 1;
                    bottleGap += 1;
                    count += 1;
                    Program.Print(count, money, bottle, bottleGap);
                    continue;
                }
            }
            Program.Print(count, money, bottle, bottleGap);
            Console.Read();
        }

        public static void Print(int count, int money, int bottle, int bottleGap)
        {
            Console.WriteLine("瓶数：" + count + "  钱数：" + money + "   瓶子数目：" + bottle + "  盖子数：" + bottleGap);
        }

这样运行的结果如下：

程序运行结果.png

答案

但是，当我看到答案的时候，还是发现被坑了。有人说，居然是20瓶。然后给出的思路竟然是，在买啤酒的过程中，可以向售卖啤酒的人赊账，然后买了酒之后再把瓶子或者瓶盖还给他们。我就不服了，世界上有这么傻叉的卖家吗？赊你一瓶酒，然后得了一个盖子。从卖家的利益来讲，明显不符合，而且规则中也没有讲过。但是，如果按着这种思路进行下去，问题似乎更简单了。

允许赊账

如果允许赊账，那么我们可以这样考虑。买家花2元钱，最终可以买到一瓶啤酒，然后可以得到一个空瓶子和盖子。而按照兑换的规则来讲，一瓶酒的价格是2元，

1. 2个空瓶子的价格=1瓶啤酒的价格 => 一个空瓶子值1元
2. 4个瓶盖的价格=1瓶啤酒的价格 => 一个盖子值0.5元
   那买家花2元钱，最后能够获得一个空瓶子和一个盖子，最后得到的利益相当于1.5元，实际上买家只花了0.5元喝了这瓶酒。那按照这样的思路。
   n元钱最后能够喝到n / 0.5 = 2n瓶酒。n为2的倍数，否则取向下的最靠近2的倍数的数，多余的钱不可以买酒，且游戏规则没有说（瓶子+盖子+钱）这种组合可以换到酒

不允许赊账

貌似已经解决了问题，但是如果考虑不可以赊账的情况，而且不使用计算机去模拟，能不能有一个简单的数学表达式得到最后的结果呢？
我解决的思路如下：
首先列举1-5元钱的情况：
1元钱，啥都买不了
2元钱，只能买一瓶酒
3元钱，也只能买一瓶酒
4元钱，先买两瓶酒，然后2个瓶子换一瓶酒，最后的结果是喝了3瓶酒，1个空瓶子，加上3个盖子
5元钱，和4元钱的情况等同
6元钱，在4元钱的基础上加2元钱

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4瓶酒 + 2个瓶子 + 4个盖子
5瓶酒 + 1个瓶子 + 5个盖子 （拿2个空瓶子换一瓶酒）
6瓶酒 + 2个瓶子 + 2个盖子 （拿4个空瓶子换一瓶酒）
7瓶酒 + 1个瓶子 + 3个盖子 （再拿2个空瓶子换一瓶酒）

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1.先计算偶数的情况

4的结果是剩余1个空瓶子+3个盖子，而每次加上2元的结果是，多了4瓶酒，也可以认为新加入的2元钱得到了充分地利用，而且最后剩下的还是1个瓶子和3个盖子。所以4之后的偶数都会剩余1个空瓶子加上3个盖子。
可以利用公式计算得到最后的结果，n为大于4的偶数

n为奇数.gif

2.再计算奇数的情况

算清楚了偶数，再计算奇数就非常简单了。奇数比偶数多了1元钱，这1元钱没有其他转化途径。
所以奇数只要扣除1元钱，换算成偶数就行了。

n为偶数.gif

最后的结论如上所示啦。看来大部分问题都能抽象为数学问题。