06-逆矩阵、列空间、秩与零空间

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• 两个变换相继作用在代数上体现为矩阵乘法
• A逆的核心性质在于A逆乘以A等于一个什么都不做的变换

1: 它的列是i=(1,0)和j=(0,1)

Ax=v，只要变换不将A压缩到一个更低的维度上（也就是A对应的行列式不为零），那它就存在逆变换（图2）。
当行列式为0时，与这个方程组相关的变换将空间压缩到更低的维度上，此时没有逆变换（因为不能将一条线“解压缩”为一个平面）（图3）

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如果变换将三维空间压缩为一个平面，甚至是一条线或一个点，那它也没有逆变换。它们都对应行列式为0的情况，因为此时所有的区域都被压缩到零体积。

4：不存在逆变换（即行列式值等于0），解仍然可能存在如图5
5：一个变换将空间压缩为一条直线，当向量v恰好落在直线上 6：秩代表变换后空间的维数
7：当变换的结果为一条直线时，即结果是一维的，称这个变换的秩为1 8: 变换后的向量落在某个二维平面上，称这个变换的秩为2

对于2X2的矩阵，它的秩为2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间，并且矩阵的行列式不为0。但是对于3X3的矩阵，它的秩为2意味着空间被压缩了（行列式为0）；如果一个三维变换的行列式不为0，变换的结果仍充满整个三维空间，它的秩为3。

列空间是列张成的空间

秩更精确的定义是列空间的维数（即矩阵有几列），当秩达到最大时，意味着秩与列数相等，称为满秩。

非方阵情况

3X2矩阵的几何意义是将二维空间映射到三维空间上，因为矩阵有两列表明输入空间有两个基向量，有三行表明每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述 3X2
说明原始空间是三维的
因此它们一定落在二维空间中，这是一个从三维空间到二维空间的变换
3X2矩阵