巴比伦函数表与古天文学

      巴比伦泥板函数表                      与古代天文探索

                      刘忠战

0、 引言

        古巴比伦是世界文明发祥地之一，其数学和天文学成就曾引领过整个环地中海文明带，谈及西方科技史，人们习惯于从希腊学者讲起，但当浏览古希腊学者们的著述时，会发现他们的学术活动始于古巴比伦，甚至个人经历都有巴比伦、埃及的留学或社会任职史。近代破译的大量古巴比伦“泥板书”，证实古巴比伦是古希腊学者们的“先师”，这些泥板书正在改写科技史，特别是将数学的一些基础发明年代前推若干世纪。

1、 泥板书三角函数表

        上世纪20年代，伊拉克古城 Larsa 遗址中挖掘出一块泥板书，后为收藏家 Plimton 购得，于1936年赠予哥伦比亚大学图书馆（图1），收藏编号:P322。

      P322在上世纪40年代被新南威尔士大学丹尼尔·曼斯菲尔德（Daniel Mansfield）博士领衔的研究团队破译，认为它“是一个天才的数学作品，是世界上最古老的三角函数表”（下文简称“泥板表”），这一推断引起国际数学界一小波轰动，公元前17世纪出现了“三角函数”，意味着数学史必须改写，因为此前普遍公认三角函数始于古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，约公元前190-125）发明的“弦表”（类似正弦函数表），泥板表竟比弦表早1500余年。泥板表用自然勾股数表达三角函数，所以巴比伦人掌握勾股定理，比周代“商高”（约公元前11世纪）早600余年，更比古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580-500）早1000余年。

        泥板表与现代三角函数表不同的是，表中并没有出现“角度”，而是用一系列“勾股数组”来表达特定直角三角形，这些直角三角形的锐角（图1中θ）按递增顺序排列，所以被称为世界上唯一的“零误差”函数表。我们按现代列表习惯，将泥板表中的楔形文转译成表1，会看到三角函数表的真容。

  表1. 转译得到的泥板三角函数表

      表1中a、c列与泥板表a、c列一一对应，靠左边为原六十进制数；右边黑体字为十进制数。丹尼尔·曼斯菲尔德团队的解读是：

①    a、c为正整数，代表直角三角形的“勾”和“弦”，隐含的“股”（ b ），也是正整数，a、b、c 组成“自然勾股弦”。[本文按此规律补充了隐含的股数b和a、c边夹角θ，θ=arccos(a/c)。]

②    θ，是按角差≈1°的递增规律序列排列的（正弦计算为递减），这正是 函数表的特征，表明泥板书并不是随意找到的一堆勾股数组，而是一张精心排列的、反映边-角关系的余弦（或正弦）表。

③    用勾、股、弦数来表达角，与商高用勾3、股4、弦5等勾股数组来表达直角三角形的方式相同，而不同的是泥板表是精心编排的“表”，θ从45.24°延续到58.11°。据推测，泥板表可能还有尚未发现的续页，全表至少覆盖0°--90°。

        注意泥板表中采用的古巴比伦60进位制计数法，从便于计算的角度看，数字60，含有12个自然因子，可以有多种平均法，这一优点，也是角度和时间计量一直沿用巴比伦60进位制的原因。

        泥板表在科技史学家们中引起的争议之一是，巴比伦人早在3700多年前编制函数表是否有应用目的？因同时代的泥板书并没有找到任何解释，所以学者们有不同的猜测。

        当我们关注对泥板表进行补充完善的后来者，研究这些后来学者们所从事的工作时，也许会得到泥板表用途的答案，本文将揭示：一个仰望星空的民族，如何用“超越函数”这把钥匙打开宇宙探索的大门。

2.  古代西方的天文探索

        古代西方的天文探索，主要是以希腊天文学家为代表的观测和理论研究活动。巴比伦文明的消失对于现代人而言是历史“断层”，但对连续在哪里活动的希腊学者而言，在他们著述中应该能看到连续的传承。在一连串的前赴后继式的天文探索记录中，会清晰地看到了泥板表被承袭的印迹。

        著名天文学家阿利斯塔克（Aristarchus，315-235B.C.）、埃拉托色尼（Eratosthenes，275-193.B.C）、喜帕恰斯（Hipparchus，约190-125B.C.）、托勒密（Ptolemy，85-165）等的天文探索活动，都留在他们的著作或后续者的引文中。如一直沿用巴比伦人的数学工具，诸如360°制；度、分、秒的60进位制；解决天文测量过程中对三角函数的继承和改进等。

        在托勒密的《天文学大成》理论形成之前的五六百年间，曾有过一些著名的天文测量活动，为托勒密理论的最终形成打下基础，三角函数作为核心数学工具，在这些测量活动起到了关键的技术支撑作用，可举以下事倒说明。

1）  日月大小和距离的比较：公元前3世纪以前，人们凭直觉认为日月大小相似，但並不清楚谁更远些，更大些。阿利斯塔克在《论日月的大小和距离》一书中，详述了公元前3世纪对日月距离和大小的比较测量。已知月光是日光的反射，所以当出现“半月”的那一刻，日、月、地三者正好构成直角三角形（图2），若能从地面测得日月视角之差θ（∠AOB），则可用余弦函数求得月距（a）与日距（c）的比值。当时测得θ=87°，所以得出：a/c=1/19（ cos87）。根据这个比值，他进一步得出推论：因在日食时可观察到日、月的视直径相当，根据图3的中的相似原理，可知日、月的直径之比等于距离之比，即：D/d＝Rs/Rm＝19。又据月食时观察地影与月面的比较，得出地球直径大约是月球的3.5倍。这样便得到了月、地、日三者的直径比：1/3.5/19。

        当时凭肉眼观测“半月”，产生了2.853°的误差（真值：θ≈89.853°）所以1/19与真值1/389相差较远，但这并没有妨碍阿利斯塔克得到一个具有划时代意义的结论，根据小球必定会绕大球旋转这一规律，判定：月球绕地球旋转，而地球一定会绕更大的太阳旋转，所以太阳才是宇宙的中心。这一认识比哥白尼（1473-1543）“日心说”整整早了17个世纪，恩格斯曾称阿利斯塔克为“古代的哥白尼”。可惜此想法被托勒密《天文学大成》的巨大光环所遮掩，也因与基督教会的教义不合而被人为的淹没。阿利斯塔克的日月距测量活动是三角函数在天文（超远距不可接触）测量的一次成功应用。没有三角函数工具，∵测量是无法实施的。

2）  地球周长测量：  比阿利斯塔克晚一辈的另一位希腊天文学家埃拉托色尼将圆函数概念与圆形地球的猜想巧妙结合，在公元前的3世纪末，精确地测出了地球的周长。他的方法如图4所示，据记载，埃及阿斯旺城附近有一口深井（A点），因每逢夏至正午时分阳光可直射井底而出名，埃拉托色尼在A点的正北向 找到亚历山大里亚城的一座尖塔（B点），当夏至正午时刻，他测得B点的光偏角θ=7.2°，因而可认为AB弧对应的地心角为7.2°，差得皇家测地资料知AB弧长5000希腊里（折合787.5km），因此可得地球周长为：787.5×(360/7.2)=39,375（km），这与现代的真值非常接近，这种精妙没计来源于大地为正圆球的猜想以及对光斜角与纬度差关系的正确理解。

利用日光斜角测地球周长

3） 地月距的实际测量：最早测量地月实际距离的人，是另一位活动于公元前2世纪的古希腊天文学家喜帕恰斯，他也是数学史公认的“弦表”发明人。他构思了利用日食机会测量月距的方法。如图4所示，他在地球的A点观测日全食，让另一人在北方的B点同时观测日偏食，人们已知月球的视张角φ，根据B点观察到太阳露出的比例，可求算出θ角，在ABC中，地月距AC=AB/sinθ。喜帕恰斯当时推算的地月距约为260,000km，与现公认的384,401km有较大差距，但在两千多年前用肉眼观察的条件下测量，是很了不起的成就。

视差法测距

        喜帕恰斯更为可贵的是总结了前人关于圆、弧、弦、角的求算经验，定义了“单位圆”概念，规定单位圆半径R=60，测算了一系列圆心角与弦长(b/R)的对应关系，制作了“弦表”（相当正弦函数表，也称为“圆函数”表），由此，三角函数成为一种通用的数学工具。

喜帕恰斯的圆弦表图

        喜帕恰斯因此被誉为三角函数之父。此后的天文学家提出了许多测算地月、地日、地星距离的奇妙方法，随着观测工具的现代化，精度在不断提高，所以直至现代，基于三角函数的“视差法”仍然是星际测量的唯一几何方法，当然A、B两个观测点距离越大，测量也就越准确，通常用公式：S=sin（θ/2）（AU）求得星C的距离（AU是天文单位，1AU=地日平均距离），现代的宇宙天体测量，A、B距离拉大到地球公转轨道直径（图5）的两端，测距范围可达数光年以上。

＜AB相距3亿公里＞

4）  托勒密天文学的数学根基：公元2世纪，“地心说”天文学进入了“集大成”的托勒密时代，他将“弦表”扩展为间隔0.5°、覆盖0°—180°、精确至小数点后5位的圆函数表。同时代的梅内劳斯（Menelaus，）又将三角学由平面推广至球面，使三角学达到了全盛时代。托勒密《天文学大成》积公元前天文学千年之大成，描绘出以地球为中心，日、月、行星围绕大圆周（均轮）公转、同时又围绕小圆周（本轮）小圆周旋转相组合“和谐宇宙”图像。托勒密理论的数学基础就是“弦表”，它统治西方天文学长达13个世纪，弦表和球极坐标系使天文学成为严密的数理科学，他不仅可以解释既往星体运动，而且可以准确预测未来的位置，预测误差仅在几度之内。大量精确全面的星位资料为16世纪后的天文大发现搭建了云梯，在十六世纪历史上，丹麦著名天文学家第谷(Tycho Brahe，1546-1601年)对星位的记录可以精确到8分以内，协助其弟子---天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571-1630年）发现了行星的“椭圆”轨道，提出著名的“行星运动三定律”，助推天文学跨入了前牛顿时代。

2.  天文学研究方法比较

        如果将东方古代天文学与西方做一比较，会发在重大天文事件发现上两者并肩齐驱，但在数学工具运用上差异明显，这种数学工具上的差异导致理论体系建立和科研可持续性上的落差。如果我们将西周--汉代的天文称作东方古天文学，它正好与西方托勒密之前的天文学在年代和发现内容上大体同步。但东方天文学注重实用的优势与疏于理论体系建立的劣势并存。

        周－汉的各个朝代，都设有主管天文的官职，他们不断改进的历法和编撰的《天文志》，曾是世界上最全、最连贯的天文记事录，有很多令世界惊叹的发现。但由于数理工具的落后使得在中世纪之后很难有所突破，数理工具的落后在古代是隐性的，但在中世纪以后逐渐凸显理论体系和数理方法的重要性，固守“经典”、缺少理论整合和跃升，必然导致科研的不可持续性。主要表现在以下几个方面。

1）  关于宇宙模型：周-汉天文学中的“浑天论”与西方“地心说”大体上等价，汉-张衡（78－139年）与托勒密正好是同代人，他在《浑仪注》中的“天体圆如弹丸，地如鸡子中黄，孤居于天内，天之包地，犹壳之裹黄。”论述，代表了当时的宇宙模型。但在实际计算中却用“天地平行”模型去近似，一直沿用“重差术”得到的严重失真的“七衡六间”太阳运动模型，虽然对制定历法（节气划分）影响不大，但一个失真的数理模型不可能支撑天文学进一步发展，以至于后续的天体尺度计算都是在错误的模型上增加新的错误；历史上一些重要的天文发现成为孤立“事件”，无法整合到一个统一的数理体系中。（关于七衡六间摸型参见《周骨单算经》）

古代的《七衡六间》图

2）  关于数学工具：汉代已有先进的“浑仪”等观测仪器，在记录中也采用了“天球赤道坐标系”（现在仍在沿用），按365.25度划分圆周（与回归年日数相同），但天体距离测量仍基于“勾股术”、“重差术”等几何方法，在涉及弧、弦、径关系的计算中，虽曾创造过“割圆术”，求解圆内接正3072边形（相当圆周细分至0.12°）的边径关系，具备了细分圆周和计算弦-径关系的能力，即编制高精度“弦表”足是唾手可得的事，但却始终没有迈出创建＂弦表”这一步，这就导致了很多次天文测量活动结论扭曲，止步于大发现的门槛之外。

        南朝宋史官何承天（370-447），最早发现天地平行模型计算日影引起的失误（季节错位），442年，南朝宋曾遣使远赴胶州（今越南河内东），比较胶州与南京在夏至正午的日影差与南北距差的关系，否定了“影亏一寸，地差千里”的经典表述，但可惜仅满足对季节排序做些小调整，并未从根本上纠正天地平行模型以及算法理论，对照西方学者用两地影差求出地球周长的作法，就差在模型的理解和拍应的算法上；另一位唐初著名天文学家李淳风（602-670），直接批判了“天地平行模型＂（见《周髀算经注文》），但又提出了一个“天地互为斜坡”的近似模型，同样没有从根本上纠正模型和算法理论。直到唐代的另一位民间天文学家曾一行，吸收了阿拉伯人的天文学理念和方法，在世界上首次用日影法测出地球表面弧长与纬度差之比为129Km／度（现为111.2km／度）。这是首次用实测数据证明地为圆球。

        其实从汉张衡到唐李淳风的800年间，历代天文官并非不知天地为同心球，而是没有找到圆函数这个数学工具。中世纪后东方天文学落后趋势逐渐显现，除了其它原因以外，本文认为过度关注实用、疏于理论体系的建立是根本原因之一。东方天文学在为世界贡献诸多辉煌的同时也留下了值得反思的遗憾。

            ＜2020＿7＿10初稿＞

参考文献:

1.      刘劲生,古巴比伦数学概观,四川师大学报(自然科学版)1993-1,p81-87

2.      程贞一，闻人军（译注），周髀算经，[M],上海古籍出版社，2012。

3.      吴大江，现代宇宙学，[M] 清华大学出版社，2015

4.      邓可卉，托勒密《至大论研究》，学位论文，http://www.cnki.net

5.      刘徽等，算经十书，辽宁教育出版社，1998.12

6.      王西辞、王耀扬，勾股定理及其相关历史发展 http://www.cnki.net