kitchen角点检测算法--Apple的学习笔记

2019-12-08 本文已影响0人 applecai

1.前言

进入opencv算法学习。算法学习分2个步骤，一个是算法推导及理解。另外一部分是看opencv算法源码。
今天进行的是kitchen-Rosenfeld角点检测算法理论。

2.理解算法

网上先搜索了下，kitchen和Rosenfeld提出的基于局部梯度幅度值和边界上梯度方向改变率的角点检测算法。因为他利用了边缘曲线曲率和梯度幅度值都很大的特点。响应函数C为曲率k和梯度幅度值g的乘积。公式为
$C=kg=k(I_x^2+I_y^2)^{1/2}=\frac{I_{xx}I_y^2+I_{yy}I_x^2-2I_{xy}I_xI_y}{I_x^2+I_y^2}$
C的极值对应的像素即为角点。
其中 $I_x=\frac{\partial I}{\partial x}, I_y=\frac{\partial I}{\partial y}, I_{xx}=\frac{\partial^2 I}{\partial^2 x}, I_{yy}=\frac{\partial^2 I}{\partial^2 y}, I_{xy}=\frac{\partial^2 I}{\partial xy},$

这个公式是如何推导的?下载了Kitchen 1982年的论文 Gray-level corner detection，没有全看，主要是看公式推导，想看看他的具体推导步骤。结果由于我不记得二元函数链式法则，折腾了老半天。另外，梯度在某个方向上的投影就是方向导数，论文中的 $\theta_x$ 我一开始理解错了，因为看到论文中写了投影，以为是方向导数的方向，其实是梯度的方向。

3.论文算法推导

论文算法相关的截图如下：

原始论文.png
是梯度对x轴的旋转角度。代表梯度对于x方向的偏导数。然后又对求x和y方向的偏导数，就是求梯度方向的变化率，其实可以理解为曲率，具体曲率公式如下图：

曲率公式.png

但是作者这部分论文中公式的描述还没有说到曲率， $\theta_x和\theta_y$ 对x的偏导数和对y的偏导数。之后会利用二元函数链式除法求导法则来推导的，至少我目前是这样理解的。
$[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
$g_x=v(x),g_y=u(x)$ ,而g_x本来就是对x的导数，再次对x求偏导数,就是二阶导数 $g_{xx}$ ，若是 $g_y$ 对x求偏导数就是 $g_{xy}$ 继续看 $tan\theta$ 是通过什么公式变成 $\theta$ 的呢?
$acrtan\theta=\frac{z'}{1+z^2}$ ，我在网上曲率公式里搜索到的。
那么论文中的 $\theta = \frac{(\frac{g_y}{g_x})'}{1+(\frac{g_y}{g_x})^2}$
$\theta =\frac{g^2_x}{g^2_x+g^2_y}*(\frac{g_y}{g_x})'$
然后对 $\frac{g_y}{g_x}$ 求偏导，前面的乘数我把他看做常数。按照链式法则求导就是：
$\frac{g_y}{g_x}|_x = \frac{g_{xy}g_x-g_yg_{xx}}{g_x^2}$ ，和前面的乘数进行约分，最后梯度方向 $\theta_x$ 是对x的偏导数为 $\theta_x = \frac{g_y}{g_x}|_x = \frac{g_{xy}g_x-g_yg_{xx}}{g^2_x+g^2_y}$ ，同理可以计算梯度方向 $\theta$ 对y的偏导数。结果和论文中一致。

最后论文中用了梯度在沿边缘线的方向(梯度-90的方向)的投影来计算，即通过内积公式，cos $\theta =1。$ 但是里面的K有除数 ${g^2_x+g^2_y}$ ，我觉得不应该有的。
然后通过点乘公式
$C=g_x \theta_y - g_y \theta_x$ ，将之前的 $\theta_x$ 和 $\theta_y$ 带入后，得出 $C=\frac{g_{xx}g_y^2+g_{yy}g_x^2-2g_{xy}g_xg_y}{g_x^2+g_y^2}$ 和最初网上搜索到的kitchen公式一致。