逻辑回归(Logistic regression)
0.前言
Logistic regression (逻辑回归)是当前业界比较常用的机器学习方法,用于估计某种事物的可能性。之前在经典之作《数学之美》中也看到了它用于广告预测,也就是根据某广告被用户点击的可能性,把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方,然后叫他“你点我啊!”用户点了,你就有钱收了。这就是为什么我们的电脑现在广告泛滥的原因了。
还有类似的某用户购买某商品的可能性,某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的(当然了,人为的确定性系统除外,但也有可能有噪声或产生错误的结果,只是这个错误发生的可能性太小了,小到千万年不遇,小到忽略不计而已),所以万物的发生都可以用可能性或者几率(Odds)来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。
Logistic regression可以用来回归,也可以用来分类,主要是二分类。如向量机SVM,它就是个二分类的,例如,它可以将两个不同类别的样本给分开,思想是找到最能区分它们的那个分类超平面。但当你给一个新的样本给它,它能够给你的只有一个答案,你这个样本是正类还是负类。例如你问SVM,某个女生是否喜欢你,它只会回答你喜欢或者不喜欢。这对我们来说,显得太粗鲁了,要不希望,要不绝望,这都不利于身心健康。那如果它可以告诉我,她很喜欢、有一点喜欢、不怎么喜欢或者一点都不喜欢,你想都不用想了等等,告诉你她有49%的几率喜欢你,总比直接说她不喜欢你,来得温柔。而且还提供了额外的信息,她来到你的身边你有多少希望,你得再努力多少倍,知己知彼百战百胜,哈哈。Logistic regression就是这么温柔的,它给我们提供的就是你的这个样本属于正类的可能性是多少。
假设我们的样本是{x, y},y是0或者1,表示正类或者负类,x是我们的m维的样本特征向量。那么这个样本x属于正类,也就是y=1的“概率”可以通过下面的逻辑函数来表示:
这里θ是模型参数,也就是回归系数,σ是sigmoid函数。实际上这个函数是由下面的对数几率(也就是x属于正类的可能性和负类的可能性的比值的对数)变换得到的:
换句话说,y也就是我们关系的变量,例如她喜不喜欢你,与多个自变量(因素)有关,例如你人品怎样、车子是两个轮的还是四个轮的、长得胜过潘安还是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅还是三寸茅庐等等,我们把这些因素表示为x1, x2,…, xm。那这个女的怎样考量这些因素呢?最快的方式就是把这些因素的得分都加起来,最后得到的和越大,就表示越喜欢。但每个人心里其实都有一杆称,每个人考虑的因素不同,萝卜青菜,各有所爱嘛。例如这个女生更看中你的人品,人品的权值是0.6,不看重你有没有钱,没钱了一起努力奋斗,那么有没有钱的权值是0.001等等。我们将这些对应x1, x2,…, xm的权值叫做回归系数,表达为θ1, θ2,…, θm。他们的加权和就是你的总得分了。请选择你的心仪男生,非诚勿扰!哈哈。
所以说上面的logistic回归就是一个线性分类模型,它与线性回归的不同点在于:为了将线性回归输出的很大范围的数,例如从负无穷到正无穷,压缩到0和1之间,这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了,把大值压缩到这个范围还有个很好的好处,就是可以消除特别冒尖的变量的影响(不知道理解的是否正确)。而实现这个伟大的功能其实就只需要平凡一举,也就是在输出加一个logistic函数。另外,对于二分类来说,可以简单的认为:如果样本x属于正类的概率大于0.5,那么就判定它是正类,否则就是负类。实际上,SVM的类概率就是样本到边界的距离,这个活实际上就让logistic regression给干了。
所以说,LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归,仅此而已。
好了,关于LR的八卦就聊到这。归入到正统的机器学习框架下,模型选好了,只是模型的参数θ还是未知的,我们需要用我们收集到的数据来训练求解得到它。那我们下一步要做的事情就是建立代价函数了。
LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。
假设我们有n个独立的训练样本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)},y={0, 1}。那每一个观察到的样本(xi, yi)出现的概率是:
上面为什么是这样呢?当y=1的时候,后面那一项是不是没有了,那就只剩下x属于1类的概率,当y=0的时候,第一项是不是没有了,那就只剩下后面那个x属于0的概率(1减去x属于1的概率)。所以不管y是0还是1,上面得到的数,都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集,也就是n个独立的样本出现的似然函数为(因为每个样本都是独立的,所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘):
那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数(cost function)了。
OK,那代价函数有了,我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导,看导数为0的时候可不可以解出来,也就是有没有解析解,有这个解的时候,就皆大欢喜了,一步到位。如果没有就需要通过迭代了,耗时耗力。
我们先变换下L(θ):取自然对数,然后化简(不要看到一堆公式就害怕哦,很简单的哦,只需要耐心一点点,自己动手推推就知道了。注:有xi的时候,表示它是第i个样本,下面没有做区分了,相信你的眼睛是雪亮的),得到:
这时候,用L(θ)对θ求导,得到:
然后我们令该导数为0,你会很失望的发现,它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了,只能借助高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。
1.what is the logistic regression?
许多人对线性回归都比较熟悉,但知道逻辑回归的人可能就要少的多。从大的类别上来说,逻辑回归是一种有监督的统计学习方法,主要用于对样本进行分类。
在线性回归模型中,输出一般是连续的,例如
对于每一个输入的x,都有一个对应的y输出。模型的定义域和值域都可以是[-∞, +∞]。但是对于逻辑回归,输入可以是连续的[-∞, +∞],但输出一般是离散的,即只有有限多个输出值。例如,其值域可以只有两个值{0, 1},这两个值可以表示对样本的某种分类,高/低、患病/健康、阴性/阳性等,这就是最常见的二分类逻辑回归。因此,从整体上来说,通过逻辑回归模型,我们将在整个实数范围上的x映射到了有限个点上,这样就实现了对x的分类。因为每次拿过来一个x,经过逻辑回归分析,就可以将它归入某一类y中。
逻辑回归与线性回归的关系
逻辑回归也被称为广义线性回归模型,它与线性回归模型的形式基本上相同,都具有 ax+b,其中a和b是待求参数,其区别在于他们的因变量不同,多重线性回归直接将ax+b作为因变量,即y = ax+b,而logistic回归则通过函数S将ax+b对应到一个隐状态p,p = S(ax+b),然后根据p与1-p的大小决定因变量的值。这里的函数S就是Sigmoid函数。
将t换成ax+b,可以得到逻辑回归模型的参数形式
sigmoid函数的图像
通过函数S的作用,我们可以将输出的值限制在区间[0, 1]上,p(x)则可以用来表示概率p(y=1|x),即当一个x发生时,y被分到1那一组的概率。可是,等等,我们上面说y只有两种取值,但是这里却出现了一个区间[0, 1],这是什么鬼??其实在真实情况下,我们最终得到的y的值是在[0, 1]这个区间上的一个数,然后我们可以选择一个阈值,通常是0.5,当y>0.5时,就将这个x归到1这一类,如果y<0.5就将x归到0这一类。但是阈值是可以调整的,比如说一个比较保守的人,可能将阈值设为0.9,也就是说有超过90%的把握,才相信这个x属于1这一类。了解一个算法,最好的办法就是自己从头实现一次。下面是逻辑回归的具体实现。
逻辑回归模型的代价函数
逻辑回归一般使用交叉熵作为代价函数。关于代价函数的具体细节,请参考代价函数
这里只给出交叉熵公式
m:训练样本的个数;
hθ(x):用参数θ和x预测出来的y值;
y:原训练样本中的y值,也就是标准答案
上角标(i):第i个样本
优化求解(以0.前言中最前面的最大似然函数举例)
梯度下降(gradient descent)
Gradient descent 又叫 steepest descent,是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法,也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单,要找最小值,我只需要每一步都往下走(也就是每一步都可以让代价函数小一点),然后不断的走,那肯定能走到最小值的地方,例如下图所示
但,我同时也需要更快的到达最小值啊,怎么办呢?我们需要每一步都找下坡最快的地方,也就是每一步我走某个方向,都比走其他方法,要离最小值更近。而这个下坡最快的方向,就是梯度的负方向了。
对logistic Regression来说,梯度下降算法新鲜出炉,如下:
其中,参数α叫学习率,就是每一步走多远,这个参数非常关键的。如果设置的太多,那么很容易就在最优值附加徘徊,因为你步伐太大了。例如要从广州到上海,但是你的一步的距离就是广州到北京那么远,没有半步的说法,自己能迈那么大步,是幸运呢?还是不幸呢?事物总有两面性嘛,它带来的好处是能很快的从远离最优值的地方回到最优值附近,只是在最优值附近的时候,它有心无力了。但如果设置的太小,那收敛速度就太慢了,向蜗牛一样,虽然会落在最优的点,但是这速度如果是猴年马月,我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下刀子的。我开始迭代是,学习率大,慢慢的接近最优值的时候,我的学习率变小就可以了。所谓采两者之精华啊!
梯度下降算法的伪代码如下:
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
计算整个数据集的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
注:因为本文中是求解的Logit回归的代价函数是似然函数,需要最大化似然函数。所以我们要用的是梯度上升算法。但因为其和梯度下降的原理是一样的,只是一个是找最大值,一个是找最小值。找最大值的方向就是梯度的方向,最小值的方向就是梯度的负方向。另外,最大似然可以通过取负对数,转化为求最小值。
随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)
梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集(计算整个数据集的回归误差),该方法对小数据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征时,就有点力不从心了,它的计算复杂度太高。改进的方法是一次仅用一个样本点(的回归误差)来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的样本到来的时候对分类器进行增量的更新(假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了,那新来一个样本x。对非增量学习算法来说,我们需要把x和数据库A混在一起,组成新的数据库B,再重新训练新的分类器。但对增量学习算法,我们只需要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可),所以它属于在线学习算法。与在线学习相对应,一次处理整个数据集的叫“批处理”。
随机梯度下降算法的伪代码如下:
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
对数据集中每个样本
计算该样本的梯度
使用alpha xgradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
改进的随机梯度下降
评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛,也就是说参数是否达到稳定值,是否还会不断的变化?收敛速度是否快?
上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中(请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样本,每个样本都对系数调整一次,所以共有200*100=20000次调整)三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动,迭代次数很大了,心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点,也就是我们的数据集并非线性可分,但我们的logistic regression是线性分类模型,对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识到这些不正常的样本点,还一视同仁的对待,调整系数去减少对这些样本的分类误差,从而导致了在每次迭代时引发系数的剧烈改变。对我们来说,我们期待算法能避免来回波动,从而快速稳定和收敛到某个值。
对随机梯度下降算法,我们做两处改进来避免上述的波动问题:
1)在每次迭代时,调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行,alpha越来越小,这会缓解系数的高频波动(也就是每次迭代系数改变得太大,跳的跨度太大)。当然了,为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0(这时候,系数几乎没有调整,那么迭代也没有意义了),我们约束alpha一定大于一个稍微大点的常数项。
2)每次迭代,改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动,因为样本顺序的改变,使得每次迭代不再形成周期性。
改进的随机梯度下降算法的伪代码如下:
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
对随机遍历的数据集中的每个样本
随着迭代的逐渐进行,减小alpha的值
计算该样本的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降,可以看到两点不同:
1)系数不再出现周期性波动。2)系数可以很快的稳定下来,也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。
2.数据实验演示
-0.017612 14.053064 0
-1.395634 4.662541 1
-0.752157 6.538620 0
-1.322371 7.152853 0
0.423363 11.054677 0
0.406704 7.067335 1
0.667394 12.741452 0
-2.460150 6.866805 1
0.569411 9.548755 0
-0.026632 10.427743 0
上面的数据一共是3列10行,其中前两列为x1和x2的值,第3列表示y的值;10行表示取了10个样本点。我们可以将这些数据当做训练模型参数的训练样本。
见到训练样本就可以比较直观的理解算法的输入,以及我们如何利用这些数据来训练逻辑回归分类器,进而用训练好的模型来预测新的样本(检测样本)。
从逻辑回归的参数形式,式子(1)我们可以看到逻辑回归模型中有两个待定参数a(x的系数)和b(常数项),我们现在给出来的数据有两个特征x1, x2,因此整个模型就增加了一项:ax1 + cx2 + b。为了形式上的统一,我们使用带下标的a表示不同的参数(a0表示常数项b并作x0的参数令 <x0=1>,a1、a2分别表示x1和x2的参数),就可以得到:
这样统一起来后,就可以使用矩阵表示了(比起前面展开的线性表示方式,用矩阵表示模型和参数更加简便,而且矩阵运算的速度也更快):
将上面的式子带入到(1)式,我们就可以得到逻辑回归的另一种表示形式了:
此时,可以很清楚的看到,我们后面的行动都是为了确定一个合适的a(一个参数向量),使得对于一个新来的X(也是一个向量),我们可以尽可能准确的给出一个y值,0或者1.
注:数据是二维的,也就是说这组观察样本中有两个自变量,即两个特征(feature)。
3.训练分类器
就像上面说的,训练分类器的过程,就是根据已经知道的数据(训练样本)确定一个使得代价函数的值最小的a(参数向量/回归系数)的过程。逻辑回归模型属于有监督的学习方法,上面示例数据中的第3列其实是训练样本提供的"标准答案"。也就是说,这些数据是已经分好类的(两类,0或者1)。在训练阶段,我们要做的就是利用训练样本和(2)式中的模型,估计一个比较合适的参数a,使得仅通过前面两列数据(观察值/测量值)就可以估计一个值h(a),这个值越接近标准答案y,说明我们的模型预测的越准确。
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
path = 'D:/Python basic/logistic regression/data'
training_sample = 'Logistic_Regression-trainingSample.txt'
testing_sample = 'Logistic_Regression-testingSample.txt'
# 从文件中读入训练样本的数据
def loadDataSet(p, file_n):
dataMat = []
labelMat = []
fr = open(os.path.join(p, file_n))
for line in fr.readlines():# readlines() 方法用于读取所有行并返回列表list 该列表可以由 Python 的 for... in ... 结构进行处理
lineArr = line.strip().split() #s.strip(rm) 删除s字符串中开头、结尾处
# 三个特征x0, x1, x2, x0=1
# print(lineArr[0])
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2])) # 样本标签y
return dataMat, labelMat
def sigmoid(X):# sigmoid函数
return 1.0/(1+np.exp(-X))
# 梯度下降法求回归系数a
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = np.mat(dataMatIn) # 转换成numpy中的矩阵, X, 90 x 3
labelMat = np.mat(classLabels).transpose() # 转换成numpy中的矩阵, y, 90 x 1
m, n = np.shape(dataMatrix) # m=90, n=3
alpha = 0.001 # 学习率
maxCycles = 1000
weights = np.ones((n, 1)) # 初始参数, 3 x 1
for k in range(maxCycles): # heavy on matrix operations
h = sigmoid(np.dot(dataMatrix, weights)) # 模型预测值, 90 x 1, 矩阵乘法
error = h - labelMat # 真实值与预测值之间的误差, 90 x 1
temp = np.dot(dataMatrix.transpose(), error) # 所有参数的偏导数, 3 x 1, np.dot矩阵乘法
weights = weights - alpha * temp # 更新权重
return weights
# 分类效果展示,参数weights就是回归系数
def plotBestFit(weights):
dataMat,labelMat=loadDataSet(path, training_sample)
dataArr = np.array(dataMat)
n = np.shape(dataArr)[0]
xcord1 = []; ycord1 = []
xcord2 = []; ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i])== 1:
xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = np.arange(-3.0, 3.0, 0.1)
y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2] # x2 = f(x1)
ax.plot(x.reshape(1, -1), y.reshape(1, -1))
plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
plt.show()
# 测试函数
def test_logistic_regression():
dataArr, labelMat = loadDataSet(path, training_sample) # 读入训练样本中的原始数据
A = gradAscent(dataArr, labelMat) # 回归系数a的值
h = sigmoid(np.dot(dataArr, A)) # 预测结果h(a)的值, 矩阵乘法
# print(dataArr, labelMat)
print("回归系数:",A)
print("预测值",h)
plotBestFit(A)
test_logistic_regression()