线性代数

2020-07-21 本文已影响0人原上的小木屋

线性代数

第一章

第一节二阶与三阶行列式

二阶、三阶行列式的计算

对角线法则
交换顺序法
降阶法(这个我是使用起来最方便了)

第二节全排列与逆序数

逆序数

比如说，排列 $32514$ 中，逆序数为5，3的逆序数为0，2的逆序数为1，5的逆序数为0，1的逆序数为3，4的逆序数为1，加起来这个排列的逆序数为5.
逆序数为偶数叫偶排列，逆序数为奇数叫奇排列。

第三节 n阶行列式的定义

第四节对换

第五节行列式的性质

第六节行列式按行展开

余子式
代数余子式

余子式与代数余子式的区别就在于代数余子式带正负号

第七节克拉默法则

非齐次线性方程组- 常数项不全为0
齐次线性方程组-常数项全为0

第二章

第一节矩阵

矩阵-方阵-行向量-列向量-对角阵-单位矩阵-零矩阵
两个矩阵行数相等，列数相等-同型矩阵

第二节矩阵运算

对称阵与伴随阵

$A^T=A$ ，这种叫对称阵
$A^T=-A$ ，这种叫反对称阵

伴随阵的性质

$A^*A=A*A^*=|A|E$

第三节逆矩阵

奇异矩阵与非奇异矩阵

奇异矩阵-列向量线性相关
非奇异矩阵-列向量线性不相关

逆矩阵的求解方法

待定系数法
伴随矩阵法
初等变换法(下一章介绍)

第四节矩阵分块法

第三章

第一节矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换方式

对调两行
以数 $k\not=0$ 乘以某一行的所有元素
把某一行的所有元素的 $k$ 倍加到另一行对应的元素上去
除此之外，矩阵的初等列变换方式与初等行变换方式基本一致，矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换

第二节矩阵的秩

经过初等行变换后矩阵的秩不变

第三节线性方程组的解

非齐次方程组的情况

$R(A)=R(B)=n\Longleftrightarrow Ax=b$ 有唯一解
$R(A)=R(B)<n\Longleftrightarrow Ax=b$ 有无穷多解

齐次方程组的情况

$R(A)=n\Longleftrightarrow Ax=0$ 只有零解
$R(A)<n\Longleftrightarrow Ax=0$ 有非零解

第四节初等矩阵

初等矩阵的概念

由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵
三种初等变换对应着三种不同的初等矩阵(对调两行或两列|k乘某行或某列|k乘某行加到另一行上)

初等矩阵的应用

可以使用初等变化来进行逆阵的求解

第四章

第一节 n维向量

注意，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

第二节向量组的线性相关性

第三节向量组的秩

最大线性无关向量组

第四节向量空间

向量空间的概念
子空间的概念
向量空间的基和维数

第五节线性方程组的解结构

齐次方程组解的性质
基础解系及其求法
非齐次方程组解的性质

第五章

第一节向量的内积

内积的定义及性质

$[x,y]=x^Ty$

向量的长度及性质

非负性、齐次性、三角不等式性

正交向量组的概念及求法

若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组
正交基、规范正交基-两两正交且长度均为1
施密特正交化过程，理解即可

正交矩阵及正交变换

若 $A^TA=E，即A^T=A^{-1}$ ，则称A为正交矩阵
若P为正交矩阵，则 $y=Px$ 称为正交变换，性质：变换后长度不变

第二节方阵的特征值和特征向量

特征值和特征向量的概念

若 $Ax=\lambda x$ ，则这样的数 $\lambda$ 称为方阵 $A$ 的特征值，非零向量 $x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量

特征值和特征向量的性质

不相等的特征值所对应的特征向量线性无关
属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量
矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言，一个特征值具有的特征向量不唯一，一个特征向量不能属于不同的特征值

求解矩阵特征值和特征向量的步骤

计算 $A$ 的特征多项式 $det(A-\lambda E)$
求特征方程 $det(A-\lambda E)=0$ 的全部根 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ ，就是 $A$ 的全部特征值
对于特征值 $\lambda_i$ ，求解齐次方程组 $(A-\lambda_iE)x=0$ 的非零解，就是对应于 $\lambda_i$ 的特征向量

特征值与特征向量的求法

第三节相似矩阵

相似矩阵与相似变换的概念

$若P^{-1}AP=B$ ，则称B为A的相似矩阵，对A进行的 $P^{-1}AP$ 运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变为B的相似变换矩阵
相似变化具有三个性质，分别为：反身性、对称性、传递性

相似矩阵与相似变换的性质

若A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值也相同

利用相似矩阵将方阵对角化

n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

第四节对称矩阵的相似矩阵

对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法的具体步骤

求 $A$ 的特征值
由 $(A-\lambda_iE)x=0$ ，求出 $A$ 的特征向量
将特征向量正交化
将特征向量单位化

对称矩阵的性质

特征值为实数
属于不同特征值的特征向量正交
特征值的重数和与之对应的线性无关特征向量的个数相等
比存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值

第五节二次型及其标准型

二次型及其标准型的概念
二次型的表示方法

任给一个二次型，就可以唯一确定一个对称矩阵，
对称矩阵 $A$ 叫做二次型 $f$ 的矩阵
$f$ 叫做对称矩阵 $A$ 的二次型
对称矩阵 $A$ 的秩叫做二次型 $f$ 的秩

二次型的矩阵及秩
重点说明

二次型经可逆变换 $x=Cy$ 后，其秩不变，但 $f$ 的矩阵由 $A$ 变为 $B=C^TAC，且称A与B合同$

化二次型为标准型

第七节正定二次型

惯性定理
正(负)定二次型的概念
正(负)定二次型的判别

二次型对应的对称矩阵的特征值均为正值叫正定二次型
二次型对应的对称矩阵的特征值均为负值叫负定二次型
此外还有霍尔维茨定理判别法。正定：各阶主子式为正；负定：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正

正定矩阵具有以下一些简单性质

$设A为正定实对称阵，则A^T,A^{-1},A^*均为正定矩阵$
$若A,B均为n阶正定矩阵，则A+B也是正定矩阵$

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