Lipschitz continuity

本篇文章参考 维基百科 利普希茨连续

在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitz continuity）以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。

直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。

一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

1、定义

维基百科 原文

我的理解： Lipschitz continuity 保证了函数不会无限制的增长，即限制了函数变化的速率，无论函数自变量如何变化，其函数值的变化总会小于或等于函数的自变量差值的K 倍，而K 是一个不变的常数， constant.

2、例子

维基百科 例子

我的理解：从上到下依次为例(1)(2)(3)(4)(5)(6)，

例子（1）（2）的区别是： 例子（1） 规定了自变量的范围，保证了f(x)的导数 “2x” 在[-6,14]范围内，所以K 等于14. 而例（2）则没有规定自变量范围，所以不符合 Lipschitz 条件。

同样，例（3）中， 我们可以看到其斜率小于1， K = 1.