高中数学纲目

函数与导数大题：2018年理数全国卷C题21

2022-05-19 本文已影响0人易水樵

2018年理数全国卷C题21

已知函数 $f(x) = (2+x+a x^2) \ln (1+x) -2x$ .

（1）若 $a=0$ ，证明∶当 $-1 \lt x \lt 0$ 时， $f(x) \lt 0$ ；当 $x \gt 0$ 时， $f(x) \gt 0$ ;

（2）若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ .

【解答问题1】

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty)$ .

若 $a=0$ ，则 $f(x)=(2+x) \ln(1+x)-2x$

$f'(x)=\ln(1+x)+\dfrac{1}{1+x}-1$

$f''(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}$

$f''(x)=\dfrac{1}{1+x}(1-\dfrac{1}{1+x})$

$f(0)=0$

$f'(0)=0$

$f''(0)=0$

$x \in (-1,0), f''(x) \lt 0, \Rightarrow$ 函数 $f'(x)$ 单调递减， $\Rightarrow f'(x) \gt f'(0) \Rightarrow f'(x) \gt 0, \Rightarrow$ $f(x)$ 单调递增， $f(x) \lt f(0) \Rightarrow f(x) \lt 0$ ;

$x \in (0,+\infty), f''(x) \gt 0, \Rightarrow$ 函数 $f'(x)$ 单调递增， $\Rightarrow f'(x) \gt f'(0) \Rightarrow f'(x) \gt 0, \Rightarrow$ $f(x)$ 单调递增， $f(x) \gt f(0) \Rightarrow f(x) \gt 0$ ;

证明完毕.

【解答问题2】

$f(x) = (2+x+a x^2) \ln (1+x) -2x$

$f'(x)=(2ax+1)\ln(x+1)+\dfrac{a+1}{x+1}+ax-(a+1)$

$f''(x)=2a\ln(x+1)+\dfrac{1-2a}{x+1}-\dfrac{a+1}{(x+1)^2}+3a$

令 $g(x)=f''(x)$ ，则

$g'(x)=\dfrac{2a}{x+1}+\dfrac{2a-1}{(x+1)^2}+\dfrac{2(a+1)}{(x+1)^2}$

$g'(x)=\dfrac{2a(x+1)^2+(2a-1)(x+1)+2a+2}{(x+1)^3}$

$f(0)=0$

$f'(0)=0$

$f''(0)=0$

$g'(0)=6a+1$

若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，则存在 $x_1 \lt 0 \lt x_2$ , 使得在区间 $(x_1,0)$ 内， $f(x)$ 单调递增，在区间 $(0,x_2)$ 内，单调递减.

相应地，其一阶导函数 $f'(x)$ 的值有以下特征：

$f'(0)=0$ ;

$x \in (x_1,0), f'(x) \gt 0$ ;

$x \in (0,x_2), f'(x) \lt 0$ ;

其二阶导函数 $f''(x)$ 存在两种情况：

① $x \in (x_1,x_2), f''(x) \lt 0$ ;

② $f''(x)=0, x \in (x_1,0), f''(x) \lt 0, x \in (0,x_2), f''(x) \lt 0$ ;

本题中， $f''(0)=0$ , 情况 ① 不成立，所以情况 ② 成立。换言之， $x=0$ 同时也是 $f''(x)$ 的极值点，必要条件是： $g'(0)=6a+1=0$

解得： $a=-\dfrac{1}{6}$

又∵ $g'(x)=\dfrac{2a(x+1)^2+(2a-1)(x+1)+2a+2}{(x+1)^3}$

∴ 当 $a=-\dfrac{1}{6}$ , 存在 $x_1 \lt x \lt x_2$ , 使得 $f''(x)=0, x \in (x_1,0), f''(x) \lt 0, x \in (0,x_2), f''(x) \lt 0$

综上所述， $a=-\dfrac{1}{6}$ 既是必要条件，也是充分条件.

【提炼与提高】

对于极值问题，求导是个好办法。如果一次不行，还可以两次、三次。

需要注意的是： $f'(x_0)=0$ 仅仅是函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极值的必要条件，而并非充分条件.

举例来说，对于 $y=x^2,y=x^4$ 来说， $x=0$ 是极值点；而对于 $y=x^3,y=x^5$ 来说， $x=0$ 则不是极值点，而是一个驻点。

在高中阶段接触的函数都是连续函数。对于这类函数，根据一阶、二阶导数来判断其极值点的方法如下：

（1）如果 $f'(x_0)=0, f''(x_0) \gt 0$ , 则 $x=x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点；

（2）如果 $f'(x_0)=0, f''(x_0) \lt 0$ , 则 $x=x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点；

（3）如果 $f'(x_0)= f''(x_0) = 0$ , 则需要根据更高阶的导函数来判断。举例说明如下。

例一：记 $g(x)=x^3$

$g'(x)=3x^2,g''(x)=6x, g^{(3)}(x)=6$ ,

$g^{(x)}(0)\gt 0, g''(0)=0$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), g''(x)\lt 0, x \in (0,x_2), g''(x) \gt 0$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), g(x)\gt 0, x \in (0,x_2), g'(x) \gt 0$

$\Rightarrow$

$x=0$ 不是函数 $g(x)$ 的极值点，而是驻点；

例二：记 $h(x)=x^4$

$h'(x)=4x^3, h''(x)=12x^2, h^{(3)}(x) =24x, h^{(4)}(x)=24$ ;

$h'(0)=h''(0)=h^{(3)}=0$

$h^{(4)}(x) \gt 0, h^{(3)}(0)=0$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), h^{(3)}(x) \lt 0, x \in (0,x_2), h^{(3)}(x) \gt 0,$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), h''(x) \gt 0, x \in (0,x_2), h''(x) \gt 0,$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), h(x) \lt 0, x \in (0,x_2), h'(x) \gt 0,$

$\Rightarrow$

$x=0$ 是函数 $h(x)$ 的极值点；

记住以上两个实例，遇到类似问题，可以依法炮制.

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