数值计算day1-计算机中的浮点数；误差；数学基础
鉴于课堂笔记较为潦草，这里将为期两周的暑期学校学习内容整理到博客中，一来今后查阅起来比较方便，二来学过的东西如果不趁热整理很快就会忘记。
书籍：Numerical Methods for Engineers and Scientist--《工程科学中的数值计算》
课时：24小时
1. 计算机中浮点数的表示
1.1 十进制浮点表示
其中
称作小数部分(mantissa)
例子：
的次幂
表示数据的数量级，小数点前面的数字要小于5，否则数量级为
。在这里，
的数量级为
，记为
；而
的数量级为
1.2 二进制浮点表示
的次幂称作指数部分(exponent)，小数部分和指数部分都应该写为二进制形式。
转换方法：
例子：
1.3 IEEE-754标准
在计算机中存储二进制浮点数，小数点前的数字不需要存储，IEEE-754标准分为单精度(single precision)和双精度(double precision)。在单精度中，使用
位(
字节)存储浮点数，双精度使用
位(
字节)存储。两者的首位均为符号位，
对应着
，
对应着
。接下来的
位存储指数部分（双精度中使用
位），最后
位存储小数部分（双精度中使用
位）。
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小数部分存储为二进制，指数部分的值需要加上一个偏差(bias)。以双精度为例，用于存储指数部分的位二进制能存储的最大值是
，使用
为偏差，即当指数部分为
时，实际存储的值为
，按照此逻辑，指数部分能存储的最小值为
，最大值为
。但是，最小和最大的指数值（加上偏差）被留作表示
，
以及
。如果指数部分加上偏差为
，小数部分为
时，存储的是
；如果指数部分加上偏差为
（全部为
），当小数部分为
时，存储的是
，当小数部分不为
时，存储的是
（在单精度中，偏差为
）。
例子： 指数部分为
，存储为
，小数部分为
:
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注意
- 在双精度中，存储的最小正数为
此数与
之间的数无法被计算机存储；
- 在双精度中，存储的最大正数为
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2. 数值方法中的误差
2.1 Round-Off Errors (舍入误差)
舍入误差分为两类：
-
截取(chopping off)
-
四舍五入(rounding)
例子：
采用截取(chopping off)：
采用舍入(rounding)：
两种舍入产生的差值分别为：，两值实际的差距为
，在此问题中，四舍五入更接近真实值。
2.2 Truncation Errors (截断误差)
截断误差依赖于使用的数值方法
考虑正弦函数的如下泰勒展开： 当
时，
。若只取第一项，
，截断误差为
；若取前两项，
， 截断误差为
2.3 Total Error （总误差）
数值解的总误差也叫真实误差(true error)，包括舍入误差和截断误差两部分，是真实解和数值解之间的差值： 真实误差的绝对值和真实解的比值称作真实相对误差：
3. 数学基础
3.1 函数的连续性
定义：函数称作在
处连续，如果以下三个条件成立：
-
存在
- 极限
存在
介值定理(Intermediate value theorem)：在闭区间
上连续，
是介于
和
之间的数值，则至少存在一个点
使得
。
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3.2 函数的可微性
函数在点
处的导数记为
, 定义为：
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可导函数则必是连续函数，连续函数未必可导，一个连续可导的函数称作是光滑的(smooth)。
链式法则：函数，其中，则
微分中值定理(Mean value theorem for derivatives)：在闭区间
上连续，在开区间
上可导，则存在一个数
，使得
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3.3 函数的积分
积分基本定理：函数在闭区间
上连续，
是
在
上的不定积分，则：
积分中值定理：函数在闭区间
上连续，存在
使得：
值
称作是函数
在区间
上的均值(average value)：
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变上下限积分：
4. 总结
本节课主要讲述了浮点数在计算机中的表示方法，其中IEEE-754标准是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。之后，介绍了数值计算中的几种常用的误差，包括舍入误差、截断误差等。最后简单回顾了一下函数连续、可微等数学背景。课堂中，还简单演示了MATLAB中向量、矩阵的相关运算，较为简单，这里没有做总结，后续笔记中，会涉及到相应的一些操作。
