初中数学 7A BJ P90

O 为直线 MN 上一点，将等腰直角三角形 AOB 置于 MN 上方，∠A = 90 且将其一锐角顶点与 O 重合，射线 OP 平分 ∠AON，设∠AOM = a.

若 0 < a < 180, 在射线 OB，OP 和 ON 中，当其中一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，求 a 的值。

解：OB，OP 和 ON 的相对位置，分三种情况讨论。

(1) 当 OB 平分 ∠PON 时

因为 ∠AOM = a, 所以 ∠AON = 180 - a

因为 OP 平分 ∠AON，所以 ∠PON = 1/2 * ∠AON = 90 - 1/2* a

因为 ∠AOB = 45，所以 ∠BON = 180 - ∠AOM - 45 = 180 - a - 45 = 135 - a

因为 OB 平分 ∠PON，所以 ∠PON = 2 ∠BON = 270 - 2a

所以 270 - 2a = 90 - 1/2 * a

解出 a = 120

(2) 当 ON 平分 ∠POB 时，因为 OP 平分∠AON，所以 ∠AOP = ∠PON

因为 ON 平分 ∠POB，所以 ∠PON = ∠NOB

所以 ∠AOP = ∠PON = ∠NOB = 45/3 = 15

所以 a = 180 - ∠ AON = 180 - 15 * 2 = 150

(3) 当 OP 平分∠BON 时，OP 不可能再平分 ∠AON，舍去。

答：a 为 120 或者 150.