详解卡尔曼滤波

2020-12-08 本文已影响0人 GUYUE24

姓名：胡娟

学号：20021110092

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【嵌牛导读】

本文介绍了统计信号中的克拉美罗界的求解问题。

【嵌牛鼻子】

克拉美罗界

【嵌牛正文】

作者：有事没事扯扯淡关注

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来源：简书

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什么是卡尔曼滤波？

你可以在任何含有不确定信息的动态系统中使用卡尔曼滤波，对系统下一步的走向做出有根据的预测，即使伴随着各种干扰，卡尔曼滤波总是能指出真实发生的情况。

在连续变化的系统中使用卡尔曼滤波是非常理想的，它具有占用内存小的优点（除了前一个状态量外，不需要保留其它历史数据），并且速度很快，很适合应用于实时问题和嵌入式系统。

我们能用卡尔曼滤波做什么？

　　用玩具举例：你开发了一个可以在树林里到处跑的小机器人，这个机器人需要知道它所在的确切位置才能导航。

我们可以说机器人有一个状态 $\vec{x_{k} }$ ，表示位置和速度：

注意这个状态只是关于这个系统基本属性的一堆数字，它可以是任何其它的东西。在这个例子中是位置和速度，它也可以是一个容器中液体的总量，汽车发动机的温度，用户手指在触摸板上的位置坐标，或者任何你需要跟踪的信号。

　　这个机器人带有GPS，精度大约为10米，还算不错，但是，它需要将自己的位置精确到10米以内。树林里有很多沟壑和悬崖，如果机器人走错了一步，就有可能掉下悬崖，所以只有GPS是不够的。

或许我们知道一些机器人如何运动的信息：例如，机器人知道发送给电机的指令，知道自己是否在朝一个方向移动并且没有人干预，在下一个状态，机器人很可能朝着相同的方向移动。当然，机器人对自己的运动是一无所知的：它可能受到风吹的影响，轮子方向偏了一点，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，轮子转过的长度并不能精确表示机器人实际行走的距离，预测也不是很完美。

GPS 传感器告诉了我们一些状态信息，我们的预测告诉了我们机器人会怎样运动，但都只是间接的，并且伴随着一些不确定和不准确性。但是，如果使用所有对我们可用的信息，我们能得到一个比任何依据自身估计更好的结果吗？回答当然是YES，这就是卡尔曼滤波的用处。

卡尔曼滤波是如何看到你的问题的

下面我们继续以只有位置和速度这两个状态的简单例子做解释。

我们并不知道实际的位置和速度，它们之间有很多种可能正确的组合，但其中一些的可能性要大于其它部分：

卡尔曼滤波假设两个变量（位置和速度，在这个例子中）都是随机的，并且服从高斯分布。每个变量都有一个均值 $\mu$ ，表示随机分布的中心（最可能的状态），以及方差 $\sigma ^2$ ，表示不确定性。

在上图中，位置和速度是不相关的，这意味着由其中一个变量的状态无法推测出另一个变量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相关的，观测特定位置的可能性取决于当前的速度：

这种情况是有可能发生的，例如，我们基于旧的位置来估计新位置。如果速度过高，我们可能已经移动很远了。如果缓慢移动，则距离不会很远。跟踪这种关系是非常重要的，因为它带给我们更多的信息：其中一个测量值告诉了我们其它变量可能的值，这就是卡尔曼滤波的目的，尽可能地在包含不确定性的测量数据中提取更多信息！

这种相关性用协方差矩阵来表示，简而言之，矩阵中的每个元素 $\Sigma_{ij}$ 表示第 i 个和第 j 个状态变量之间的相关度。（你可能已经猜到协方差矩阵是一个对称矩阵，这意味着可以任意交换 i 和 j）。协方差矩阵通常用“ $\Sigma$ ”来表示，其中的元素则表示为“ $\Sigma_{ij}$ ”

使用矩阵来描述问题

　　我们基于高斯分布来建立状态变量，所以在时刻 k 需要两个信息：最佳估计 $\hat{x_{k} }$ （即均值，其它地方常用 $\mu$ 表示），以及协方差矩阵 $P_{k}$

（当然，在这里我们只用到了位置和速度，实际上这个状态可以包含多个变量，代表任何你想表示的信息）。接下来，我们需要根据当前状态（k-1 时刻）来预测下一状态（k 时刻）。记住，我们并不知道对下一状态的所有预测中哪个是“真实”的，但我们的预测函数并不在乎。它对所有的可能性进行预测，并给出新的高斯分布。