五、正交变换

2017-11-30  本文已影响0人  hyfine

将空域中的图像变换到变换域

ps://TODO 这一章并没有理解,理论有点抽象,需要后续逐渐提高认识


正交变换的基本概念

图像是许多点冲激函数的累加(转换到空间的信号处理问题),图像通过系统的效果就是每一点冲激函数通过系统的响应之和。(通常数字图像被认为是一个空间线性系统),这里联系线性系统的知识来理解。

任何图像都可以分解成基图像之和,这些基图像是相互正交的,图像变换的本质是寻找合适的基图像来表达图像。

三类变换

1.一维正交变换

线性变换:F=Tf,这里T为变换矩阵,N*N,f为N*1的原向量,那么这里就是对向量f的一个线性变换,变换后的结果是F。如图一所示

图片.png

g(x,u)为正变换核,矩阵T为变换的核矩阵,变换矩阵。

同理也可以做逆变换f=T(-1)F,显然TT(-1)=E(或者I)

酉变换:T的逆变换等于其复共轭的转置时,该线性变换为酉变换。

正交变换:若T为师叔编号,则称酉变换为正交变换。(实数的复共轭任然是实数本身),此时,T的逆=T的转置,T*T的转置=E

此时,正交变换T的每一列称为该正交变换的正交基。此时,这些基向量正交,乘积为0.

完备性:如图二

图片.png

2.二维正交变换

二维离散线性变换:图三

图片.png 可分离变换核:上图中,若核函数中x和y是无关的,那么可以写成分离的形式,使得二维变换可分步计算,每一步做一个一维变换。如图四所示 图片.png

离散傅里叶变换

一种经典的正余弦正交变换,建立起空域和频域的联系。

1.连续傅里叶变换

2.离散傅里叶变换

意义:跟一维信号处理一样,傅里叶变化,把图像从“空域”变为“频率”。对于一幅图像,高频部分代表了图像的细节、纹理信息;低频部分代表了图像的轮廓信息。如果对一幅精细的图像使用低通滤波器,那么滤波后的结果就剩下了轮廓了。这与信号处理的基本思想是相通的。如果图像受到的噪声恰好位于某个特定的“频率”范围内,则可以通过滤波器来恢复原来的图像。


其他正交变换

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