线代--单位矩阵与逆矩阵

2022-07-09  本文已影响0人  倪桦
1、单位矩阵

I_{n}=(i_{kj}) = \{ \begin{array} 01\ , if \ k = j \ ; \\ 0 \ ,if \ k \neq j \end{array}
单位矩阵的特点是对角线为1(行号等于列号的单元元素值为1 )，其它元素值为0, 是一个方阵，且有I \times A = A \ ; A \times I = A，当I矩阵的每个行向量与A矩阵的列向量进行乘的时候，由于I矩阵的行向量第i列才有值，所以相当于从A矩阵的列向量中提取第i个元素的值\rightarrow a_{ij} = \vec r_i \cdot \vec c_j = \vec c_{j(i)}
I_{2} = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} I_{3} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}
python的numpy 库初始化一个3*3单位矩阵np.identity(n = 3)

2、矩阵的逆 T^{-1}

当存在矩阵B 与矩阵A 相乘满足条件 A \times B = B \times A = I，则称B是矩阵A的逆，记作：B = A^{-1} 。可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆，只有方阵才有逆。
单位矩与逆矩阵的关系: A^0 = A \times A^{-1} = I
矩阵的负幂计算：A^{-2} = (A^{-1})^{2} ，这一类计算应用的很少。
python的numpy 对矩阵A求逆矩阵invA：invA = np.linalg.inv(A)

2.1、奇异矩阵 与 非奇异矩阵

在矩阵系统中，大量的矩阵不存在逆矩阵，但总体而言，可逆矩阵在矩阵系统中还是居多的，只是相比不可逆矩阵而言少的多。
满足可逆条件的矩阵称为可逆矩阵，也叫做\color {#4285f4}{\small非奇异矩阵(non-sigular)}，意思是这种矩阵是非常平凡的矩阵，正规的矩阵(regular-matrix)；而不可逆矩阵则称为\color{red}{\small 奇异矩阵(singular)}。

2.2、矩阵的逆的性质

① 对矩阵A而言，若存在逆矩阵B则B唯一
② (A^{-1})^{-1} = A ，A矩阵的逆矩阵的逆还是A;
反证法证明如下:令 A^{-1} = X,转而求证 X^{-1} = A \\ \because X \cdot A = I = A \cdot X \\ 又 \because X = A^{-1} \\ \therefore 得 A^{-1} \cdot A = I = A \cdot A^{-1} \\ \therefore X^{-1} = A \to (A^{-1})^{-1} = A

③ (A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1} \rightarrow (AB) \cdot (A^{-1}B^{-1}) =I \rightarrow A(B \cdot B^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I
④ (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}，矩阵A的转置的逆等于A的逆的转置; 求证:\because A^{T} \cdot (A^{-1})^{T} = I \to (A \cdot A^{-1})^{T} = I^{T} = I \to \ \therefore 得证 (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}

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