矩阵分析（四）子空间

2021-06-01 本文已影响0人 Jarkata

线性子空间概念

定义：
设 $W$ 是 $\mathbb{F}$ 上线性空间 $V$ 的一个非空子集，若 $W$ 关于 $V$ 的加法和数乘运算也构成线性空间，则称 $W$ 和 $V$ 的一个线性子空间，简称子空间。

（线性子空间的判定定理）：设 $W$ 是 $\mathbb{F}$ 上线性空间 $V$ 的一个非空子集，则 $W$ 是 $V$ 的子空间的充要条件是：

若 $\alpha,\beta \in W$ ，则 $\alpha+ \beta \in W$
若 $\alpha \in W, k \in \mathbb{F}$ ，则 $k \alpha \in W$

也就是说，只需要验证对加法和数乘封闭即可

$\{0\}$ 和 $V$ 本身均是 $V$ 的子空间，且这两个子空间称为平凡子空间

例1 （零空间）

生成子空间

定义：设 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 中的向量组，则该向量组所有可能的线性组合所构成的集合
$W=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+···+k_s\alpha_s \mid k_1, k_2,...,k_s \in \mathbb{F}\}$
是 $V$ 的线性子空间，称为 $V$ 的生成子空间，记作 $W=span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}$ 或 $W=L (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$

反之，给定 $V$ 的一个线性子空间 $W$ ，若能找到向量组 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$ 使得恰有 $W = span\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_r\}$ ，则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$ 为子空间 $W$ 的一个生成向量组，简称生成组。

生成空间的性质

$W=span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}$ ，则 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s \in W$
$span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}=span\{\beta_1, \beta_2,...,\beta_t\}\Leftrightarrow \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s$ 与 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$ 等价
$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$ 的极大线性无关组是 $span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}$ 的基，故 $\dim (span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\})=rank (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$

基扩张定理

设 $\{ \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r\}$ 是 $V^{n}$ 中一组线性无关向量，则 $V^{n}$ 中存在 $n-r$ 个向量 $\alpha_{r+1}, \alpha_{r+2},...,\alpha_{n}$ ，使得
$\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha_n\}$
构成 $V^{n}$ 的基
证明：

例2

子空间的交与和

设 $U,W$ 是 $V$ 的子空间

$U\cap W=\{\alpha\mid \alpha \in U\ \&\ \alpha \in W\}$ 也是 $V$ 的子空间，称为 $U,W$ 的交空间
$U+W=\{\alpha_1+\alpha_2\mid \alpha_1\in U\ \& \ \alpha_2\in W\}$ 也是 $V$ 的子空间，称为 $U,W$ 的和空间

定理：

定理（维数公式）：设 $U$ 和 $W$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，则
$\begin{aligned} &\dim(U)+\dim(W)=\dim(U+W)+\dim(U\cap W)\\ &\dim (U \cap W) \leqslant \dim(U) = \dim(W) \leqslant \dim(U + W) \leqslant \dim V \end{aligned}$