圆周运动的“角度量”描述--by 费世煌

2019-03-17 本文已影响0人翔予

可能用到的符号

$\omega$ 、 $\alpha$ 、 $\beta$
对应代码：

$\omega$、$\alpha$、$\beta$

知识点

圆周运动可用标量，不需要用矢量
- 给定一个圆心，只有顺时针转动和逆时针转动之分
- 可用正负来标记转动方向(逆时针为正，顺时针为负)
位置： $\theta$
- 据习惯水平向右为参考轴
- 约定逆时针转为正，且起点是参考轴正向。请思考， $\theta=\pi$ 代表运动到哪里了？
- 若 $\theta=-\frac{\pi}{3}$ , 运动到哪里？
- $\theta=\frac{4}{3}\pi$ 与 $\theta=-\frac{2}{3}\pi$ ，是不同的位置不？
- $\theta(t)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$ 是什么样的运动？(描述的是角速度为 $\frac{\pi}{10}$ 的圆周运动)
角速度： $\omega$
- 即转速，表征转动的快慢。
- 比较：
  - $\theta(t)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$
  - $\theta(t)=\frac{\pi}{9}t+\frac{\pi}{2}$
- 角速度 $\omega=\frac{d\theta}{dt}$
角加速度： $\alpha$ (or $\beta$ )
- 表征角速度变化的快慢。
- 比较：
  - $\theta(t)=\frac{\pi}{10}t+\frac{\pi}{2}$
  - $\theta(t)=\frac{\pi}{9}t^2+\frac{\pi}{2}$
- 角加速度 $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$
一个物体绕一个点做圆周运动，则其上所有质元具有相同的 $\omega$ 进行圆周运动，但速度不一定相同。

例题：
- 请用以上工具分析圆周运动： $\theta(t)=4t^2+4t-\frac{\pi}{3}$ .
习题：
- 请写出一个圆周运动，使得它：初始位置在 $\frac{\pi}{3}$ ，初始角速度 $10$ (逆时针)，角加速度为 $2$ （顺时针）。
  
  解答： $\because \alpha=-2$
  
  则 $d\omega=\alpha dt$
  
  $\therefore \omega=\int \alpha dt=-2t+10$
  
  则 $\theta=-t^2+10t+\frac{\pi}{3}$

思考题

请写出一个圆周运动，使得它：初始位置在 $\frac{\pi}{3}$ ，初始角速度 $10$ (逆时针)，角加速度为 $2t+1$ （顺时针）。并思考，这类问题有什么通用解法？

解答： $\alpha=2t+1$

$\frac{d\omega}{dt}=\alpha\Longrightarrow d\omega=\alpha dt$

则， $\int d\omega=\int \alpha dt\longrightarrow\omega=t^2+t+10$

同理： $\theta=\int \omega dt=\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2+10t+\frac{\pi}{3}$

这类问题的解决方法:

$case_1$ :微分法，有 $\frac{d\theta}{dt}=\omega\;\;\frac{d\theta^2}{d^2t}=\alpha$

$case_2$ :积分法，有 $\int \alpha dt=\omega\;\;\int\int \alpha dt=\theta$

用上式的两种方式去确定题目中的 $\alpha$ , $\omega$ , $\theta$ 三者之间的关系式，从而求解。

圆周运动的“角度量”描述--by 费世煌

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习题：

思考题

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