蓝眼睛“悖论”：史上最吊诡的逻辑游戏
这是著名的数学家陶哲轩（Terence Tao）在自己的博客上最先贴出来的[1]。这个问题有很多版本[2]，我选择了一个最适合我们讨论的版本。
某个岛上住着100个岛民，有40人是蓝眼睛，60人是红眼睛。他们全都虔诚地信奉一种神秘的宗教。这种宗教规定：不管谁以任何方式知道了自己眼睛的颜色，他就必须在第二天正午，当着所有岛民的面，在岛的广场中心自杀。
另外，还有下面几点事实：
（1）岛民能看到别人眼睛的颜色，但是禁止以任何方式谈论别人或自己眼睛的颜色；岛上也没有任何东西（比如镜子或者水面）能让他们看到自己眼睛的颜色。
（2）每个岛民都拥有完美的数学和逻辑能力（也就是说，他们数数不需要时间，用逻辑推出任何可能的结论也不需要时间）。
（3）所有人都虔诚地信奉这个宗教，而且所有人都知道所有人都虔诚地信奉。
（4）所有岛民都知道世界上只有两种颜色的眼睛，蓝和红；并且大家都知道岛上既有蓝眼睛，也有红眼睛。
（5）岛民并不知道一共有40个蓝眼睛和60个红眼睛，因为他不知道自己眼睛的颜色。
- 问题来了：
突然有一天，一个外来人来到岛上，朝着所有人说了一句话：“这个岛上有蓝眼睛的人”，然后就离开了。
问岛上接下来会发生什么？会有人自杀吗？如果有，什么时候？
答案 & 论证
这个问题之所以像“悖论”，是因为从两个不同的方面看，会得出不同的答案[1,3,4]。
答案1：这个外来人说话之后，什么也不会发生。因为他说的那句话是所有岛民都已经知道的事实（题设4）。所以他说或者不说这句话，都不会改变岛上的任何情况。
答案2：40天之后的正午，所有的蓝眼睛岛民一起自杀，第41天正午，所有的红眼睛岛民一起自杀。
论证 答案2：
- 由题设可知，岛上不可能只有1个岛民是蓝眼睛。因为如果那样的话，这个人看到其他人都是红眼睛，就马上能猜出自己是蓝眼睛（因为所有人都知道岛上既有蓝眼睛也有红眼睛），就会自杀。
- 如果岛上有2个蓝眼睛98个红眼睛呢？蓝眼睛A会想：“如果我是红眼睛，那么蓝眼睛B一定会在第一天正午自杀。”但是等到第一天正午，B并没有自杀，A就会马上意识到自己的假设错了，那么自己一定是蓝眼睛，那么A就会在第二天正午自杀。B跟A的想法是一样的，所以B也会在第二天正午自杀。
- 如果岛上有3个蓝眼睛97个红眼睛呢？类似上面的推理，蓝眼睛C会想，如果自己是红眼睛，那么蓝眼睛A和B一定会在第二天正午自杀。但是等到第二天正午，A和B并没有自杀，那么C就会马上意识到自己是蓝眼睛。A、B跟C有着同样的想法，所以也同样会意识到自己是蓝眼睛。所以ABC三个人会在第三天正午自杀。
-
这个逻辑推理可以一直进行下去。所以，如果岛上有k个蓝眼睛，那么他们会在第k天的正午一起自杀。剩下的红眼睛会在下一个正午自杀。
“悖论”
这两个不同的答案看起来都是合理的，所以像一个悖论。但我们一定是错过了什么东西，正确的逻辑推理不可能同时给出两个不同的答案？
事实上，只有答案2是正确的。为什么呢？
这牵涉到一个概念叫“公共知识”（common knowledge）。在一群人之中，如果每个人都知道某个事实P，那么可以称P为知识；如果每个人都知道每个人都知道这个事实P，才可以将P称为公共知识。
很多人都说[5,6,7]，包括陶哲轩教授[1]，这个问题之所以不是悖论，是因为答案1的论证是错误的。这个外来者的宣布使得“岛上有蓝眼睛”这件事从知识（大家都知道的事）变成了公共知识，即大家都知道大家知道。而从“知识”变到“公共知识”，这正是这个外来者的宣布所带来的改变。所以答案1的论证是错误的。
但是，我想说明的是：
公共知识并不是这个悖论的解释。
如果我们在题设（4）中加上：大家都知道大家都知道岛上既有蓝眼睛，也有红眼睛。那么外来者的宣布确实并没有带来新信息，而且答案2的论证也同样正确。“悖论”还是产生了。
同步 & 离散
真正的解释应该是：
外来者的宣布触发了一个“同步钟”，使得所有岛民的逻辑推理同时重新开始了。
如果岛民从不同的时间点开始逻辑推理，答案2的论证是无法成立的。
设想这种情况，岛上有A、B两个蓝眼睛，C、D、E三个红眼睛，当外来者宣布有蓝眼睛之后，A马上就开始推理，但是B从第二天正午开始推理，并且A和B并不交流他们各自从什么时候开始推理。这种情况下，答案2的论证就不能成立，也就没有人会自杀。值得一提的是，如果A和B知道他们各自从什么时候开始推理，那么仍然可以采用类似答案2的论证。但是这种情况就相当于用已知的事实设置了一个“同步钟”。
（一个题外话。从“同步钟”可以推出题设所隐含的一个事实：至少有1个岛民开始信奉这个宗教的时间是与其它人不一样的。不然的话，在以往的时间里，岛民就都已经自杀了，这个逻辑游戏也就不存在了。）
使答案2的论证成立的另外一个必要条件是“推理的离散性”，这个条件由题设里面的“正午”所保证。因为岛民自杀的时间是在每天正午，所以推理是离散的。
试想，如果不是每天正午自杀，而是宣布之后，每隔12小时有一个可能自杀的窗口时间，那么对于这个问题，40个蓝眼睛会在12 * 40个小时之后全部自杀；
如果每隔1小时有一个窗口时间，那么40个蓝眼睛会在40个小时之后全部自杀；
如果每隔1秒钟有一个窗口时间，那么40个蓝眼睛会在40秒之后全部自杀；
以此类推。
所以，每隔时间t有一个窗口时间自杀的话，那么40个蓝眼睛会在40 * t之后全部自杀。
但是，t虽然可以很小很小，但是不能等于0。如果t = 0的话，是无法完成推理的。
试想上面ABCDE（AB是蓝眼睛，CDE是红眼睛）的情况。按照原来的逻辑，外来人宣布0秒钟后，如果A设想自己是红眼睛，那么他会觉得B会在0秒之后（即，立刻）自杀，但是显然B不会，所以A立刻会意识到自己的猜想不对，会觉得自己一定是蓝眼睛，所以立刻自杀。B看见A自杀了之后会觉得A是因为觉得自己是红眼睛而自杀的，所以B就不会自杀了。
因为这些事都是“立刻”发生的，所以我们可以把A、B的行为顺序倒过来，B会立刻自杀，而A不自杀。这样就得出了两个相反的结论，所以这个推理不可能是正确的。
综上，“同步钟”和“离散推理”是答案2的论证能成立的必要条件。
“离散”在推理中的重要性？
一想到逻辑操作，我会理所当然地觉得它是一步一步的，离散的。从来没有想过它如果是连续的会怎样，也没有很好的思想实验。但是这个“悖论”倒是提供了一个很好的思想实验，让我们意识到“离散性”在逻辑操作中的重要性。
如果一个函数在某点的值和它的极限值是相同的，我们说它是“可微的”，否则是“不可微的”。那么，正如这里t趋近于无穷小和t = 0会导致两个完全不同的结论，我们是不是可以说：逻辑操作是不可微的？
“逻辑”跟“离散”会不会还有更深层次的连接？
参考文献
[1] 陶哲轩教授的博客
https://terrytao.wordpress.com/2008/02/05/the-blue-eyed-islanders-puzzle/
[2] xkcd的版本
https://xkcd.com/blue_eyes.html
[3] xkcd的总结
https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/Blue_Eyes
[4] 知乎上关于该“悖论”的讨论
https://www.zhihu.com/question/21262930
[5] 关于“公共知识”的维基百科
https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge_(logic)
[6] 李永乐老师的关于该“悖论”的视频
https://www.youtube.com/watch?v=b7NZfkqFc6k
[7] 另外一个关于该“悖论”的讨论
https://liam.page/2019/07/27/the-paradox-of-red-eyes/
附：
还有一个看似悖论的地方[2,3]，这是xkcd提出的问题：在第一天、第二天、第三天等等的正午，每天都没有人自杀，所以好像并没有新的信息出现，那么到底岛民们每天在等待的是什么呢？为什么40个蓝眼睛要等到第40天正午才自杀？
这个问题跟“同步”和“离散”无关，也不是一个悖论。我们通过下面的论证来让这个问题更清楚地呈现出来（其实仔细思考上文的论证，也能发现每天确实是有新信息的，只是不太容易看清楚而已）。
我们现在考虑一个简单的例子，有ABC三个蓝眼睛（用0表示蓝）和DEF三个红眼睛（用1表示红）。从外来者宣布的那一刻，A就会先想像出2个世界，一个世界中A自己是0，另一个世界中A自己是1；在A是0的世界中，B会想像出2个世界，其中一个B自己是0，另一个是1；在A=0，B=0的世界里C会想像他自己是0或者1；以此类推。所以，最终在A的脑子里实际上出现了2^6 = 64个假想的世界，全部列出来就是（第一个数字表示A的眼睛颜色，第二个数字表示B，以此类推），
000000，000001，000010，000011，000100，000101，000110，000111，
001000，001001，001010，001011，001100，001101，001110，001111，
010000，010001，010010，010011，010100，010101，010110，010111，
011000，011001，011010，011011，011100，011101，011110，011111，
100000，100001，100010，100011，100100，100101，100110，100111，
101000，101001，101010，101011，101100，101101，101110，101111，
110000，110001，110010，110011，110100，110101，110110，110111，
111000，111001，111010，111011，111100，111101，111110，111111。
（实际上就是二进制数字从0到63。000000和111111不符合题设，所以划去了。）
推理开始之后，第一天正午没人自杀，A会意识到只有1个0或者1个1的世界是不合理的，将之划去，剩下：
000000，000001，000010，000011，000100，000101，000110，000111，
001000，001001，001010，001011，001100，001101，001110，001111，
010000，010001，010010，010011，010100，010101，010110，010111，
011000，011001，011010，011011，011100，011101，011110，011111，
100000，100001，100010，100011，100100，100101，100110，100111，
101000，101001，101010，101011，101100，101101，101110，101111，
110000，110001，110010，110011，110100，110101，110110，110111，
111000，111001，111010，111011，111100，111101，111110，111111
第二天正午也没人自杀，A会意识到只有2个0或者2个1的世界是不合理的，将之划去，剩下：
000000，000001，000010，000011，000100，000101，000110，000111，
001000，001001，001010，001011，001100，001101，001110，001111，
010000，010001，010010，010011，010100，010101，010110，010111，
011000，011001，011010，011011，011100，011101，011110，011111，
100000，100001，100010，100011，100100，100101，100110，100111，
101000，101001，101010，101011，101100，101101，101110，101111，
110000，110001，110010，110011，110100，110101，110110，110111，
111000，111001，111010，111011，111100，111101，111110，111111
然后，将剩下的世界跟自己观察到的世界比较。自己观察到的世界是?00111，那么就只能发现000111是合理的了。所以就能判断自己一定是蓝眼睛0.
所以，每过一天没有人自杀，确实会得到新信息，这个新信息用来判断有些假想的世界是不合理的。
