高等数学上期末卷题选(1)

2018-11-11 本文已影响71人溺于恐

1.质点以速度 $tsint^2\,m/s$ 作直线运动,则从 $t_1=0\,s$ 到 $t_2=\sqrt{2\pi}\,s$ 内质点所经过的路程s=?

解：

$s=\int_0^{\sqrt2\pi}|tsint^2|dt$

$= \int_0^\sqrt{\pi} tsin{t^2} dt-\int_\sqrt{\pi}^\sqrt{2\pi} tsin{t^2} dt$

$=\int_0^{\sqrt\pi}sint^2dt^2=cost^2|_{\sqrt{\pi}}^0=1+1=2$

2. $\int_1^{+\infty}{1\over x^2(x^2+1)}dx$

解：

$原式=\int_1^{+\infty}(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1})dx$

$=(-\frac{1}{x}-arctanx)|_1^{+\infty}=1-\frac{\pi}{4}$

3. $\int_2^3 \sqrt{4x-x^2} dx$

解：

$设x-2=2sint,则t=arcsin\frac{x-2}{2}$

$原式=\int_0^\frac{\pi}{6}4-4sin^2tdt$

$=\int_0^\frac{\pi}{6}4cos^2tdt$

$=\int_0^\frac{\pi}{6}(1+cos2t)d(2t)$

$=(2t+sin2t)|_0^\frac{\pi}{6}$

$={\pi\over 3}+{\sqrt3\over 2}$

4.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 $|f'(x)\le M|$ 及 $f(0)f(1)\lt 0$

证明： $|f(0)|+|f(1)|\le M$

证：

$\because f(x)在[0,1]上连续,且f(0)f(1)\lt 0$

$\therefore 由零点定理知\exists a\in(0,1)使f(a)=0$

$\because f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导$

$\therefore 由Lagrange定理知\exists \xi_1\in(0,a)$

$使f(a)-f(0)=f'(\xi_1)a$

$同理,\exists \xi_2\in(a,1)$

$使f(1)-f(a)=f'(\xi_2)(1-a)$

$\therefore |f(0)|+|f(1)|=|f'(\xi_1)|a+|f'(\xi_2)|(1-a)$
$\le Ma+M(1-a)=M$

5.如图1-1设有半径为R的半球形容器以 $a\,L/s$ 的速度向容器中注水.

1-1

(1)求x处的水平截面面积A(x)

(2)求水深为h( $0\lt h\lt R$ )时容器水量

(3)求水深为h( $0\lt h\lt R$ )时水面上升速度

解：

(1) $A(x)=\pi[R^2-(R-x)^2]$

$=\pi(2Rx-x^2)$

(2) $V=\int_0^hA(x)dx=\int_0^h(2Rx-x^2)dx$

$=\pi(Rx^2-\frac{1}{3}x^3)|_0^h$

$=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h)$

(3) $dV=A(h)dh$

$\Rightarrow a=\frac{dV}{dt}=\pi(2Rh-h^2)\frac{dh}{dt}$

$\Rightarrow \frac{dh}{dt}=\frac{a}{\pi(2rh-h^2)}$

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