一道极限题

2021-03-01 本文已影响0人 Raow1

$\begin{align*} \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^{1+2x}}{(1+x)^{2x}} - \frac{x}{e^2}) &= \lim_{x \to +\infty} x[(\frac{x}{1+x})^{2x} - \frac{1}{e^2}] \\ &= \lim_{x \to +\infty} x(e^{2x \ln \frac{x}{1+x}} - \frac{1}{e^2}) \end{align*}$
$\ln \frac{x}{1+x}$ 在无穷处的洛朗级数为
$\begin{align*} \ln \frac{x}{1+x} &= \ln (1-\frac{1}{1+x}) \\ &= -\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2(1+x)^2}-\frac{1}{3(1+x)^3}-\cdots \\ &= -\frac{1}{x}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots)-\frac{1}{2x^2}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots)^2-\frac{1}{3x^3}(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots)^3-\cdots \\ &= -\frac{1}{x} +\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{3x^3}+ O(\frac{1}{x^4}) \end{align*}$
所以，
$\begin{align*} e^{2x \ln \frac{x}{1+x}} &= e^{-2}e^{\frac{1}{x}}e^{-\frac{2}{3x^2}} \cdots\\ &= e^{-2} (1+\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} +\cdots)(1+\frac{-2}{3x^2}+\cdots)\cdots \\ &= e^{-2}+\frac{e^{-2}}{x}-\frac{e^{-2}}{6x^2} + O(\frac{1}{x^3}) \\ \end{align*}$
所以，
$\begin{align*} \lim_{x \to +\infty} x(e^{2x \ln \frac{x}{1+x}} - \frac{1}{e^2}) &=\lim_{x \to +\infty} x(\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^2x}-\frac{1}{6e^2x^2}+O(\frac{1}{x^3}) -\frac{1}{e^2}) \\ &= \frac{1}{e^2} \end{align*}$

一道极限题

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