关于梯度的一点思考

2020-08-18 本文已影响0人 Raow1

*今天看高数书的时候看到了关于梯度的内容，思考过程中有了些许小想法，特记录如下。其准确性可能有待商榷，仅供参考。

**关于梯度的定义以及计算方法等内容在此不在赘述，有需要的请自行查阅书籍或搜索。

我们以比较简单的二元函数 $f(x,y)=x+y$ 进行举例说明。

经过简单的计算我们知道其梯度，恒为 $\nabla f(x,y)=\vec{i}+\vec{j}$ 。所以沿此方向的方向导数也恒为 $\frac{\partial f}{\partial l}=\vert {\nabla f(x,y)} \vert =\sqrt{2}$ 。

紧接着，我们将上述二元函数看作三维空间中的一个平面 $F(x,y,f(x,y))=0$ ，我们令 $z=f(x,y)$ ，即 $F(x,y,f(x,y))=F(x,y,z)=x+y-z=0$ 。其法向量为 $\vec{n}=(F_{x}, F_{y},F_{z})=(1,1,-1)$ 。

x+y-z=0的图像

投影到xOy平面后的等值线图

我们能够发现，法向量投影到 $xOy$ 平面后的向量与梯度相同。

当我们将二元函数推广到其他形式时候，也能发现，二元函数在某一点的梯度，与其对应的三维空间中的面在此点的法向量在 $xOy$ 平面的投影相同。

***可惜我花了好久都没有想通这样的几何学意义是什么。（为什么沿着法向量在 $xOy$ 平面的方向，向上/z轴的变化是最快的。）后面有时间再思考的试试吧。