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王梓瑜讲义1.19因式分解

2020-01-18 本文已影响0人苏格兰低地弟弟打滴滴

因式分解

1.二元二次因式分解，如果不好做可以直接Δ来分解。

2.有时候对原先题目给定的主元不好解决，可以考虑换主元。这种想法在各类函数问题里非常常用。

3.熟悉多项式的猜根，并且能用多项式的长除法算出另外的因式。

例题：证明在m,n都是大于1 的整数的时候， $m^{4}+4 n^{4}$ 是合数。（《因式分解》p20）

分解出 $\left(m^{2}+2 n^{2}+2 m n\right)\left(m^{2}+2 n^{2}-2 m n\right)$ 之后，想要证明是合数，那就证明不是素数也不是1

不是1容易证明

不是素数，用 $\underline{反证法}$ ，假如是素数，那么较小的一个一定是1

所以 $m^{2}+2 n^{2}-2 m n=1$ ，这个方程有正整数根，1.，可以直接用 $\Delta$ 去解，整理成m的二次方程，因为有根所以 $\Delta\geq 0$ ，容易证明矛盾。 2.，可以直接 $\underline{配方}$ : $m^{2}+2 n^{2}-2 m n=(m-n)^2+n^2>1$

例题：分解因式： $-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2 a^{2} b^{2}+2 b^{2} c^{2}+2 c^{2} a^{2}$ （《因式分解》p20）

（海伦公式的分解形式，值得背住）

最后分解的结果是 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)$ ，这个公式值得背住。

这题解决的时候一个重要的观察是用 $\underline{a做主元}$ 的时候，只有a的四次和二次项，所以其实这是一个 $a^2$ 的二次函数，整理成二次函数之后可以用 $\underline{十字相乘或者\Delta}$ 来做（ $\Delta$ 计算量大一点，但是一定能做）

例题：分解因式： $x y z\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)-y^{3} z^{3}-z^{3} x^{3}-x^{3} y^{3}$ （《因式分解》p39）

$\underline{齐次六次！而且是轮换对称}$

所以在发现有个因式 $x^2-yz$ 之后，很容易写出另外两个因式： $y^2-zx,z^2-xy$ 。然后因为总共次数只有6次，我们已经有三个2次了，所以不会再有别的因式了！

最后要小心一下正负号，这时候只要挑出一项来比对一下就好了。

例题：分解因式： $a b\left(x^{2}-y^{2}\right)-\left(a^{2}-b^{2}\right)(x y+1)-\left(a^{2}+b^{2}\right)(x+y)$ （《因式分解》p37）

（原来题目里按照x，y去整理的，如果不好分解，试着用a，b为主元）

$\underline{并不是齐次的，但是关于a，b是齐次的，考虑以a，b为主元}$

按照 $a^2,ab,b^2$ 来整理系数，很容易发现可以进一步十字相乘做

例题：分解因式： $(a x+b y+a y)^{2}+(b x-a y)(a x+b y+a y)+(b x-a y)^{2}$ （《因式分解》p42）

（和上面的题目是完全一样的想法。暴力展开去做。）

$\underline{暴力展开，展开有时候是很有效的方法。}$

然后取a b主元整理系数，和上题一样。

例题：分解因式： $x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+4$ （《因式分解》p50）

猜根，因为首项系数为1，所以猜有 $(x-a)$ 因式。a一定整除4！

例题：分解因式： $5 x^{4}+12 x^{3}+17 x^{2}+9 x-7$ （《因式分解》p50）

猜根，因为首项系数不是1，所以猜有 $(ax-b)$ 因式，a一定整除5，b一定整除7！

分解了 $(5 x+7)\left(x^{3}+x^{2}+2 x-1\right)$ 之后，还要想想为什么后面那个3次的不能继续分解。

假如可以继续分解。那么一定有一次因式(ax-b),那么和上面的分析一样，a整除1，b整除1，所以就一定是(x-1)或者(x+1)但是±1都不是 $\left(x^{3}+x^{2}+2 x-1\right)$ 的根，所以不能继续分解。

例题：分解因式： $x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-x+3$ （《因式分解》p51）

（有的时候用猜根的方法发现没有一次因式，考虑2次乘2次，这时候没法直接解，用待定系数）

四次的方程

一...假如有一次因式，那么设成(x-a),a整除3，所以一定是±1 ±3，这四个都不是根，所以没有一次因式。

二...假如是二次×二次，直接用待定系数！

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