分析学的严格化发展

19世纪上半叶是数学从古典或近代进入现代的关键时期，分析开始经历严格化和精细化。而推动分析严格化的首个最重要的数学家，便是法国的数学家柯西。他在27岁时，成为巴黎综合理工学院的数学和力学教授，在分析学中的成果基本上都写入了他的讲义，内容包括变量、函数、极限、连续性、导数和微分等微积分的基本概念。其中导数和微分的定义，就是现代在用的形式。柯西还对数列和无穷级数的极限进行了严格化的处理，建立了“柯西准则”；对“拉格朗日中值定理”进行了推广，得到“柯西中值定理”；“微积分基本定理”是柯西首先严格表述和证明的。

据说柯西在法兰西科学院讲述自己关于级数收敛性的论文时，台下的拉普拉斯异常的惊讶。会议之后，急忙回家使用柯西提供的准则将自己《天体力学》中的级数全都检查了一遍，在验证级数全都收敛后才长舒一口气。这也从侧面说明了，分析虽广泛的使用，但也缺乏严格性。就算是柯西本人，也经常使用“无限逼近”这样的文字描述，而在证明作为和式极限的连续函数的积分存在性等问题时需要实数的完备性。

柯西

在分析学的研究上，柯西之后法国后继无人。另一个关键性的人物就是德国数学家魏尔斯特拉斯。在他的那个时代，人们对实数系缺乏认识，较为普遍的认为所有连续函数都是可微的。而魏尔斯特拉斯给出了一个处处连续却处处不可微的函数，拉开了寻找该类函数的序幕。他构造的函数是：

其中a是奇数，。

威尔斯特拉斯

此后，威尔斯特拉斯创立了“ε-δ语言”，替代了柯西的“无限逼近或趋近”，并给出了实数的第一个严格定义，因此被誉为“现代分析之父”。魏尔斯特拉斯先从自然数出发定义有理数，再通过无穷多个有理数集合来定义实数，通过实数建立起极限和连续性等概念。之后，戴德金和康托尔分别从有理数的分割和极限重新定义实数，并借此证明了实数的完备性。其中，康托尔是魏尔斯特拉斯的学生，他另外一个知名的学生是柯瓦列夫斯卡娅，她以一篇关于偏微分方程的论文在无须答辩的情况下获得哥廷根大学的博士学位，成为数学史上第一个女博士；时隔4年，经切比雪夫等人推荐，成为俄国科学院通讯院士，也是历史上第一个女院士。

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