专题：方程组理论的应用及伴随矩阵

2019-03-01 本文已影响0人抄书侠

方程组理论应用

典型例题

例2.14设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，证明：
(1)如果 $A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但是 $A^{k} \alpha=0$ 则 $\alpha, A \alpha, \ldots, A^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关
(2) $r\left(A^{n+1}\right)=r\left(A^{n}\right)$
例2.20设 $A,B,C$ 为 $n$ 阶实方阵，且 $B A A^{T}=C A A^{T}$ 。证明： $B A=C A$

参考文献

http://www.52gd.org/?p=436

伴随矩阵

定理

P9. $\left(A^{*}\right)^{*}=\left\{\begin{array}{ll}{A,} & {n=2} \\ {|A|^{n-2} A} & {n>2}\end{array}\right.$
定理4.1若 $B$ 是2阶方阵，则存在唯一的2阶方阵 $A$ 使得 $A^*=B$
定理4.2若 $B$ 是给定的 $n(n>2)$ 阶方阵，则存在 $n$ 阶方阵 $A$ 使得 $A^*=B$ 的充要条件为 $r(B)=n,1,0$ 并且
(1) $r(B)=n$ 时 $A=^{n-1} \sqrt{|B|} B^{-1}$
(2) $r(B)=1$ 时， $A=Q^{-1} \left( \begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {0} & {X_{n-1}}\end{array}\right) P^{-1}$ 且 $\left|X_{n-1}\right|=|P Q|, B=P \left( \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right) Q$

参考文献

http://www.52gd.org/?p=379

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定理

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