从课本到高考：对数函数的典型问题

2022-03-03 本文已影响0人易水樵

求证： $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1$

【证法一】

根据对数换底公式可得：

$\log_b c = \dfrac{ \log_a c} { \log_a b}$

$\log_c a = \dfrac{\log_a a} { \log_a c}= \dfrac{1} { \log_a c}$

$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = \log_a b \cdot \dfrac{ \log_a c} { \log_a b} \cdot \dfrac{1} { \log_a c}=1$

【证法二】

根据对数的定义可得：

$a^{\log_a b} = b$

$b^{\log_b c} = c$

$c^{\log_c a} = a$

$a^{x \cdot y \cdot z} = [(a^x)^y]^z$

$a^{\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a } = [(a^{\log_a b})^{\log_b c}]^{\log_c a}=a$

根据对数的定义可得：

$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = \log_a a = 1$

【提炼与提高】

这是一个优美的公式，也是一道经典的习题。

实际上，这个公式可长可短。按照证法二的思路，容易得出：

$\log_ab \cdot \log_b a =1$

$\log_ab \cdot \log_bc \cdot \log_cd \cdot \log_da =1$

本文提供的两种证法都是有效的，正确的。从提高能力的角度来说，两种方法都要掌握。

证法二的特点在于：它是从指数的运算规则和对数的定义出发完成证明，没有用到换底公式；因此，可以用来推导换底公式。

∵ $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1$

∴ $\log_ab= \dfrac{1}{\log_bc} \cdot \dfrac{1}{\log_ca}$

又∵ $\log_b c \cdot \log_c b = 1$

∴ $\log_ab= \dfrac{\log_cb}{\log_ca}$

学习数学一定要搞清楚公式的来龙去脉。如果不掌握公式的推导方法，盲目地背公式、刷题，可能陷入低水平重复。

【相关考题】

在下面这个1978年的高考题中，对数函数的几个公式都用到了，很有代表性：