高等代数理论基础76：A-矩阵

2019-04-26 本文已影响2人溺于恐

$\mathscr{A}$ -矩阵

任给数域P上n维空间V上线性变换 $\mathscr{A}$ ,已定义过P上 $\mathscr{A}$ 的多项式,即 $\forall f(\lambda)\in P[\lambda]$ , $f(\lambda)=a_k\lambda^k+a_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0$ ,称 $f(\mathscr{A})=a_k\mathscr{A}^k+a_{k-1}\mathscr{A}^{k-1}+\cdots+a_1\mathscr{A}+a_0\mathscr{E}$ 为P上 $\mathscr{A}$ 的多项式,其中 $\mathscr{E}$ 为V上恒等变换, $f(\mathscr{A})$ 仍为V上线性变换

定义：对P上任意 $\lambda$ -矩阵 $K(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))_{m\times l},a_{ij}(\lambda)\in P[\lambda]$ ,令 $K(\mathscr{A})=(a_{ij}(\mathscr{A}))_{m\times l}$ ,称为P上的一个 $\mathscr{A}$ -矩阵

例：

$K(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda^2+1&\lambda-1\\3&\lambda^3+\lambda\end{pmatrix}$ , $K(\mathscr{A})=\begin{pmatrix}\mathscr{A}^2+\mathscr{E}&\mathscr{A}-\mathscr{E}\\3\mathscr{E}&\mathscr{A}^3+\mathscr{A}\end{pmatrix}$

若设 $F(\lambda)=\lambda E-B$ ,称为B的特征矩阵,设 $B=(b_{ij})_{n\times n}$ ,则

$F(\lambda)=\lambda E-B=\begin{pmatrix}\lambda-b_{11}&-b_{12}&\cdots&-b_{1n}\\ -b_{21}&\lambda-b_{22}&\cdots&-b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -b_{n1}&-b_{n2}&\cdots&\lambda-b_{nn}\end{pmatrix}$

$F(\mathscr{A})=\begin{pmatrix}\mathscr{A}-b_{11}\mathscr{E}&-b_{12}\mathscr{E}&\cdots&-b_{1n}\mathscr{E}\\ -b_{21}\mathscr{E}&\mathscr{A}-b_{22}\mathscr{E}&\cdots&-b_{2n}\mathscr{E}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ -b_{n1}\mathscr{E}&-b_{n2}\mathscr{A}&\cdots&\mathscr{A}-b_{1n}\mathscr{E}\end{pmatrix}$

矩阵运算及行列式定义中只用到元素的加法和乘法,而 $\mathscr{A}$ 的多项式有加法和乘法

与 $\lambda$ -矩阵一样, $\mathscr{A}$ -矩阵也有加法、乘法及"数量"乘法(用 $\mathscr{A}$ 的多项式作为元素与 $\mathscr{A}$ -矩阵,或与数字矩阵作"数量"乘法),也有与数字矩阵、 $\lambda$ -矩阵类似的运算性质,也可定义 $\mathscr{A}$ -矩阵的行列式,也有与数字行列式相同的性质,如行列式乘法定理、伴随矩阵的存在性等

用 $\mathscr{A}$ -矩阵运算可将 $F(\mathscr{A})$ 表为

对 $f(\lambda),g(\lambda)\in P[x]$ ,令 $h(\lambda)=f(\lambda)+g(\lambda),p(\lambda)=f(\lambda)g(\lambda)$

则 $h(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})+g(\mathscr{A}),p(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})$

同时,对 $\lambda$ -矩阵, $K(\lambda)_{m\times k},L(\lambda)_{m\times k}$ ,若 $H(\lambda)=K(\lambda)+L(\lambda)$

则 $H(\mathscr{A})=K(\mathscr{A})+L(\mathscr{A})$

对 $K(\lambda)_{m\times s},L(\lambda)_{s\times k}$ ,若 $M(\lambda)=K(\lambda)L(\lambda)$

则 $M(\mathscr{A})=K(\mathscr{A})L(\mathscr{A})$

对V上的一个线性变换 $\mathscr{A}$ ,设它在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵为 $A'$

$\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)A'$

设 $A=(a_{ij})$

则 $\mathscr{A}\varepsilon_1=a_{11}\varepsilon_1+a_{12}\varepsilon_2+\cdots+a_{1n}\varepsilon_n=a_{11}\mathscr{E}\varepsilon_1+a_{12}\mathscr{E}\varepsilon_2+\cdots+a_{1n}\mathscr{E}\varepsilon_n$

$\mathscr{A}\varepsilon_2=a_{21}\varepsilon_1+a_{22}\varepsilon_2+\cdots+a_{2n}\varepsilon_n=a_{21}\mathscr{E}\varepsilon_1+a_{22}\mathscr{E}\varepsilon_2+\cdots+a_{2n}\mathscr{E}\varepsilon_n$

$\cdots$

$\mathscr{A}\varepsilon_1=a_{n1}\varepsilon_1+a_{n2}\varepsilon_2+\cdots+a_{nn}\varepsilon_n=a_{n1}\mathscr{E}\varepsilon_1+a_{n2}\mathscr{E}\varepsilon_2+\cdots+a_{nn}\mathscr{E}\varepsilon_n$

即 $\mathscr{A}\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

注：可用 $\mathscr{A}$ -矩阵的形式表达式写出

矩阵A称为 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的左矩阵

$\mathscr{A}$ 在同一基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵A'和左矩阵A互为转置关系,有相同特征多项式

$\mathscr{A}$ 在不同基下的矩阵是相似的,它们对应的转置也相似,即 $\mathscr{A}$ 在不同基下的左矩阵也相似,故 $\mathscr{A}$ 在任何基下的矩阵及左矩阵的特征多项式都相等,都是 $\mathscr{A}$ 的特征多项式

或 $(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)=\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

注：左端为形式写法,是 $\mathscr{A}$ -矩阵与向量元素的矩阵的"乘法",不是 $\mathscr{A}$ -矩阵的乘法

$\forall \mathscr{A}$ -矩阵 $K(\mathscr{A})=(k_{ij}(\mathscr{A}))_{m\times n}$ 及向量矩阵 $\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots \\\xi_n\end{pmatrix}$ ,

称 $K(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_{11}\xi_1+k_{12}\xi_2+\cdots+k_{1n}\xi_n\\ k_{12}\xi_1+k_{22}\xi_2+\cdots+k_{2n}\xi_n\\ \vdots\\ k_{n1}\xi_1+k_{n2}\xi_2+\cdots+k_{nn}\xi_n\end{pmatrix}$

为 $\mathscr{A}$ -矩阵的形式写法,与数字矩阵的形式写法一样,有性质：

1. $(K(\mathscr{A})_{m\times s}L(\mathscr{A})_{s\times k})\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_k\end{pmatrix}=K(\mathscr{A})\begin{bmatrix}L(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}\end{bmatrix}$

2. $[K(\mathscr{A})_{m\times k}+L(\mathscr{A})_{m\times k}]\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}=K(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}+L(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}$

3.设 $f(\mathscr{A})$ 是一个 $\mathscr{A}$ -多项式,则

$[f(\mathscr{A})K(\mathscr{A})]\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}=K(\mathscr{A})\begin{bmatrix}K(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}\end{bmatrix}$

注： $\mathscr{A}$ -矩阵的形式写法与数字矩阵的形式有不同性质

例：对可逆的数字矩阵 $T_{n\times n}$ 及一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,

作 $\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=T\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

则 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 仍是一组基

对可逆的 $\mathscr{A}$ -矩阵 $K(\mathscr{A})_{n\times n}$

即存在 $\mathscr{A}$ -矩阵 $L(\mathscr{A})_{n\times n}$ 使 $L(\mathscr{A})K(\mathscr{A})=K(\mathscr{A})L(\mathscr{A})=E$

对基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 作形式写法

$K(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}$

可能 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 不是基,可能有 $\eta_i=0$

例：设 $\mathscr{A}\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6&-15\\1&3&-5\\1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\end{pmatrix}$

$Q(\lambda)=\begin{pmatrix}1&-\lambda+3&-5\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$

$|Q(\lambda)|=1$ ,故 $Q(\lambda)$ 是可逆 $\lambda$ -矩阵

设 $Q(\lambda)L(\lambda)=L(\lambda)Q(\lambda)=E$

则 $Q(\mathscr{A})L(\mathscr{A})=L(\mathscr{A})Q(\mathscr{A})=\mathscr{E}$

即 $Q(\mathscr{A})$ 是可逆矩阵

$\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\eta_3\end{pmatrix}=Q(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\varepsilon_1+(-\mathscr{A}+3\mathscr{E})\varepsilon_2-5\varepsilon_3\\\varepsilon_2-\varepsilon_3\\\varepsilon_3\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\varepsilon_1+(-(\varepsilon_1+3\varepsilon_2-5\varepsilon_3)+3\varepsilon_2)-5\varepsilon_3\\\varepsilon_2-\varepsilon_3\\\varepsilon_3\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}0\\\varepsilon_2-\varepsilon_3\\\varepsilon_3\end{pmatrix}$

即 $\eta_1=0$ ,

$\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 不能为基

高等代数理论基础76：A-矩阵

$\mathscr{A}$ -矩阵

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