图的基本算法（最小生成树）

假设以下情景，有一块木板，板上钉上了一些钉子，这些钉子可以由一些细绳连接起来。假设每个钉子可以通过一根或者多根细绳连接起来，那么一定存在这样的情况，即用最少的细绳把所有钉子连接起来。
更为实际的情景是这样的情况，在某地分布着N个村庄，现在需要在N个村庄之间修路，每个村庄之前的距离不同，问怎么修最短的路，将各个村庄连接起来。
以上这些问题都可以归纳为最小生成树问题，用正式的表述方法描述为：给定一个无方向的带权图G=(V, E)，最小生成树为集合T, T是以最小代价连接V中所有顶点所用边E的最小集合。 集合T中的边能够形成一颗树，这是因为每个节点（除了根节点）都能向上找到它的一个父节点。

解决最小生成树问题已经有前人开道，Prime算法和Kruskal算法，分别从点和边下手解决了该问题。

Prim算法##

Prim算法是一种产生最小生成树的算法。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

Prim算法从任意一个顶点开始，每次选择一个与当前顶点集最近的一个顶点，并将两顶点之间的边加入到树中。Prim算法在找当前最近顶点时使用到了贪婪算法。

算法描述：

1. 在一个加权连通图中，顶点集合V，边集合为E
2. 任意选出一个点作为初始顶点,标记为visit,计算所有与之相连接的点的距离，选择距离最短的，标记visit.
3. 重复以下操作，直到所有点都被标记为visit：
   在剩下的点钟，计算与已标记visit点距离最小的点，标记visit,证明加入了最小生成树。

下面我们来看一个最小生成树生成的过程：
1 起初，从顶点a开始生成最小生成树

1
2 选择顶点a后，顶点啊置成visit（涂黑）,计算周围与它连接的点的距离：
2
3 与之相连的点距离分别为7,6,4，选择C点距离最短，涂黑C，同时将这条边高亮加入最小生成树：
3
4 计算与a,c相连的点的距离（已经涂黑的点不计算），因为与a相连的已经计算过了，只需要计算与c相连的点，如果一个点与a,c都相连，那么它与a的距离之前已经计算过了，如果它与c的距离更近，则更新距离值，这里计算的是未涂黑的点距离涂黑的点的最近距离，很明显，b和a为7，b和c的距离为6，更新b和已访问的点集距离为6，而f,e和c的距离分别是8,9，所以还是涂黑b,高亮边bc：
4
5 接下来很明显，d距离b最短，将d涂黑，bd高亮：
5
6 f距离d为7，距离b为4，更新它的最短距离值是4，所以涂黑f，高亮bf：
6
7 最后只有e了：
7

针对如上的图,代码实例如下：

#include<iostream>
#define INF 10000
using namespace std;
const int N = 6;
bool visit[N];
int dist[N] = { 0, };
int graph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF},   //INF代表两点之间不可达
                    {7,INF,6,2,INF,4}, 
                    {4,6,INF,INF,9,8}, 
                    {INF,2,INF,INF,INF,7}, 
                    {INF,INF,9,INF,INF,1}, 
                    {INF,4,8,7,1,INF}
                  };
int prim(int cur)
{
    int index = cur;
    int sum = 0;
    int i = 0;
    int j = 0;
    cout << index << " ";
    memset(visit, false, sizeof(visit));
    visit[cur] = true;
    for (i = 0; i < N; i++)
        dist[i] = graph[cur][i];//初始化，每个与a邻接的点的距离存入dist
    for (i = 1; i < N; i++)
    {
        int minor = INF;
        for (j = 0; j < N; j++)
        {
            if (!visit[j] && dist[j] < minor)          //找到未访问的点中，距离当前最小生成树距离最小的点
            {
                minor = dist[j];
                index = j;
            }
        }
        visit[index] = true;
        cout << index << " ";
        sum += minor;
        for (j = 0; j < N; j++)
        {
            if (!visit[j] && dist[j]>graph[index][j])      //执行更新，如果点距离当前点的距离更近，就更新dist
            {
                dist[j] = graph[index][j];
            }
        }
    }
    cout << endl;
    return sum;               //返回最小生成树的总路径值
}
int main()
{
    cout << prim(0) << endl;//从顶点a开始
    return 0;
}

Kruskal算法##

Kruskal是另一个计算最小生成树的算法，其算法原理如下。首先，将每个顶点放入其自身的数据集合中。然后，按照权值的升序来选择边。当选择每条边时，判断定义边的顶点是否在不同的数据集中。如果是，将此边插入最小生成树的集合中，同时，将集合中包含每个顶点的联合体取出，如果不是，就移动到下一条边。重复这个过程直到所有的边都探查过。

下面还是用一组图示来表现算法的过程：
1 初始情况，一个联通图，定义针对边的数据结构，包括起点，终点，边长度：

typedef struct _node{
    int val;   //长度
    int start; //边的起点
    int end;   //边的终点
}Node;

1
2 在算法中首先取出所有的边，将边按照长短排序，然后首先取出最短的边，将a,e放入同一个集合里，在实现中我们使用到了并查集的概念：
2
3 继续找到第二短的边，将c, d再放入同一个集合里：
3
4 继续找，找到第三短的边ab，因为a,e已经在一个集合里，再将b加入：
4
5 继续找，找到b,e，因为b,e已经同属于一个集合，连起来的话就形成环了，所以边be不加入最小生成树：
5
6 再找，找到bc，因为c,d是一个集合的，a,b,e是一个集合，所以再合并这两个集合：
6
这样所有的点都归到一个集合里，生成了最小生成树。

根据上图实现的代码如下：

#include<iostream>
#define N 7
using namespace std;
typedef struct _node{
    int val;
    int start;
    int end;
}Node;
Node V[N];
int cmp(const void *a, const void *b)
{
    return (*(Node *)a).val - (*(Node*)b).val;
}
int edge[N][3] = {  { 0, 1, 3 },
                    { 0, 4, 1 }, 
                    { 1, 2, 5 }, 
                    { 1, 4, 4 },
                    { 2, 3, 2 }, 
                    { 2, 4, 6 }, 
                    { 3, 4, 7} 
                    };

int father[N] = { 0, };
int cap[N] = {0,};

void make_set()              //初始化集合，让所有的点都各成一个集合，每个集合都只包含自己
{
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        father[i] = i;
        cap[i] = 1;
    }
}

int find_set(int x)              //判断一个点属于哪个集合，点如果都有着共同的祖先结点，就可以说他们属于一个集合
{
    if (x != father[x])
     {                              
        father[x] = find_set(father[x]);
    }     
    return father[x];
}                                  

void Union(int x, int y)         //将x,y合并到同一个集合
{
    x = find_set(x);
    y = find_set(y);
    if (x == y)
        return;
    if (cap[x] < cap[y])
        father[x] = find_set(y);
    else
    {
        if (cap[x] == cap[y])
            cap[x]++;
        father[y] = find_set(x);
    }
}

int Kruskal(int n)
{
    int sum = 0;
    make_set();
    for (int i = 0; i < N; i++)//将边的顺序按从小到大取出来
    {
        if (find_set(V[i].start) != find_set(V[i].end))     //如果改变的两个顶点还不在一个集合中，就并到一个集合里，生成树的长度加上这条边的长度
        {
            Union(V[i].start, V[i].end);  //合并两个顶点到一个集合
            sum += V[i].val;
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    for (int i = 0; i < N; i++)   //初始化边的数据，在实际应用中可根据具体情况转换并且读取数据,这边只是测试用例
    {
        V[i].start = edge[i][0];
        V[i].end = edge[i][1];
        V[i].val = edge[i][2];
    }
    qsort(V, N, sizeof(V[0]), cmp);
    cout << Kruskal(0)<<endl;
    return 0;
}