证明：当n的因子没有2和3时，(n-1)(n+1)能被24整除

首先，可以对24进行质因子化：

因此，我们只需要证明，(n-1)(n+1)带有至少有3个因子2和1个因子3，命题就得证。

因为n的因子没有2，因此n是一个奇数，所以(n-1)和(n+1)均为偶数。因此，这两个因式能分别贡献1个2。

另外，因为连续的3个整数，必然有一个是3的倍数，且根据条件得知，n本身不是3的倍数。那么n前后的两个数字，(n+1)和(n-1,)中，肯定有一个带有因子3，因此可以可以贡献出一个3 。

连续三个正整数必然有一个3的倍数

最后，连续两个偶数，必然有一个是4的倍数。根据上面推理，得知(n-1)和(n+1)均为偶数，因此，必然有其中一个是4的倍数，因此在第一步贡献了一个2出来后，还可以再贡献出一个2 。

连续两个比2大的偶数，必有一个是4的倍数

综上，(n-1)(n+1)至少可以贡献出3个2和1个3，所以能被24整除。