数据的描述性分析：概括性度量

水平的描述

1. 平均数(mean)
   也称为均值，常用的统计量之一。消除了观测值的随机波动，但易受极端值的影响。
   根据总体数据计算的，称为平均数，记为μ；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为 x‾
   数据对称分布或接近对称分布时代表性较好
2. 中位数和分位数
   排序后处于中间位置上的值。不受极端值影响。位置确定，中位数位置=(n+1)/2；数值确定；
   数据分布偏斜程度较大时代表性较好

3. 四分位数—用3个点等分数据(quartile)
   

   排序后处于25%和75%位置上的值，不受极端值的影响
4. 众数(mode)
   一组数据中出现次数最多的变量值。适合于数据量较多时使用，不受极端值的影响，
   一组数据可能没有众数或有几个众数，数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时代表性较好

差异的描述

1. 极差(range)
   一组数据的最大值与最小值之差，离散程度的最简单测度值。易受极端值影响，未考虑数据的分布
   计算公式为：R = max(x_i) - min(x_i)
2. 四分位差(quartile deviation)
   也称为内距或四分间距
   上四分位数与下四分位数之差：Q_d= Q_U – Q_L
   反映了中间50%数据的离散程度，不受极端值的影响。用于衡量中位数的代表性
3. 方差和标准差(variance and standard deviation)
   数据离散程度的最常用测度值，反映各变量值与均值的平均差异。
   根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为σ²(σ)；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s²(s)
   
4. 变异系数(coefficient of variation)
   标准差与其相应的均值之比，对数据相对离散程度的测度。消除了数据水平高低和计量单位的影响
   用于对不同组别数据离散程度的比较，计算公式为：v_s=s/x¯

5. 标准得分
   也称标准化值，对某一个值在一组数据中相对位置的度量，可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)
   

   用于对变量的标准化处理，也就是把一组数据转化为平均数为0，标准差为1的新数据。计算公式为：

• 经验法则表明：当一组数据对称分布时
  约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内
  约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内
  约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内
• 如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式(Chebyshev’s inequality)，它对任何分布形状的数据都适用。切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”
  对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k²的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数
  • 对于k=2，3，4，该不等式的含义是
    至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内
    至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内
    至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内

分布形状的度量

1. 偏态(skewness)
   统计学家K.Pearson于1895年首次提出。是指数据分布的不对称性。
   测量数据分布不对称性的统计量称为偏度系数(coefficient of skewness)，记作SK
   偏度系数=0为对称分布；>0为右偏分布；<0为左偏分布
   偏度系数大于1或小于-1，为高度偏态分布；偏度系数在0.5～1或-1～-0.5之间，为是中等偏态分布；偏度系数越接近0，偏斜程度就越低。计算公式为：
2. 峰度(kurtosis)
   统计学家K.Pearson于1905年首次提出。数据分布峰值的高低 。测度统计量是峰态系数(coefficient of kurtosis)
   峰态系数=0扁平峰度适中；峰态系数<0为扁平分布；峰态系数>0为尖峰分布
   计算公式：
   

总结