分块矩阵的总结

2019-11-22 本文已影响0人 madao756

前言：总结一下分块矩阵

我们可以对矩阵进行任意划分，叫做分块。

$C= \left[ \begin{array}{c|c} A& B \\ \hline C& D \end{array} \right]$

每个块的大小是任意的没有必要都是方阵

如果是两个分块矩阵相加，只有相同划分的矩阵才能相加

$\lambda C= \left[ \begin{array}{c|c} \lambda A& \lambda B \\ \hline \lambda C& \lambda D \end{array} \right]$

与矩阵的数乘一模一样

如果是两个分块矩阵相加，只有相同划分的矩阵才能相乘

假设我们有矩阵：

$A = \left\{\begin{matrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{matrix}\right\}$

可得：

$A^T = \left\{\begin{matrix}A_1^T&A_3^T\\A_2^T&A_4^T\end{matrix}\right\}$

$A = \left\{\begin{matrix}A_{1}&&&\\&A_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&A_{n}\end{matrix}\right\}$

其中 $A_i$ 都是方阵其余位置为 0，称 A 为分块对角矩阵。

现在我们来说它的性质：

$|A| = |A_1||A_2|\cdots|A_n|$
$A^{-1} = \left\{\begin{matrix}A_{1}^{-1}&&&\\&A_{2}^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&A_{n}^{-1}\end{matrix}\right\}$

主对角线与副对角线上对角阵的总结：

其中第四条与第五条有一个口诀：