解析几何基础知识

2019-02-11 本文已影响0人抄书侠

向量的外积： $\vec{a} \times \vec{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}}\end{array}\right|$

柱面

1.准线： $\left\{\begin{array}{l}{f_{1}(x, y, z)=0} \\ {f_{2}(x, y, z)=0}\end{array}\right.$ 母线方向： $\vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$ 过点 $M\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 的母线为 $\frac{x-x_{1}}{v_{1}}=\frac{y-y_{1}}{v_{2}}=\frac{z-z_{1}}{v_{3}} =t$ 消去 $x_1,x_2,x_3,t$ 即可。
2.圆柱面性质：动点到对称轴距离相等的点的轨迹。
例：圆柱面轴的方程 $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{-2}$ 点 $M_1(1,-2,1)$ 在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
方法：先求过 $M_1$ 垂直于轴的平面，再求这个平面和轴的交点，从而计算出半径，最后根据距离公式得到方程。

锥面

1.准线 $\left\{\begin{array}{l}{f_{1}(x, y, z)=0} \\ {f_{2}(x, y, z)=0}\end{array}\right.$ ，顶点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，求锥面方程。
2.圆锥面
已知圆锥面的顶点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 对称轴的方向向量 $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ ，求圆锥面方程。
3.旋转曲面
旋转曲面母线方程 $\left\{\begin{array}{l}{f_{1}(x, y, z)=0} \\ {f_{2}(x, y, z)=0}\end{array}\right.$ ，旋转轴 $\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}$ 求旋转曲面的方程

求投影

1.求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点。
2.求点在直线上的投影、到直线的距离、关于直线的对称点。
3.直线在平面上的投影
4.曲线 $\left\{\begin{array}{l}{f(x, y, z)=0} \\ {g(x, y, z)=0}\end{array}\right.$ 在坐标面上的投影柱面及投影

求平面方程

过直线 $\left\{\begin{array}{l}{A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0} \\ {A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0}\end{array}\right.$ 的平面方程可设为 $\left(A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}\right)+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0$

求直线方程

1.把直线一般方程化成点向式方程
已知直线方程 $\left\{\begin{array}{l}{A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0} \\ {A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0}\end{array}\right.$ 那么方向向量 $\vec{v}=\left|\begin{array}{lll}{\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ {A_{1}} & {B_{1}} & {C_{1}} \\ {A_{2}} & {B_{2}} & {C_{2}}\end{array} \right|=(v_1,v_2,v_3)$

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柱面

锥面

求投影

求平面方程

求直线方程

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