在拟合数据时，为什么选择最小二乘来作为误差函数呢？

虽然不明白为什么，但是一直觉得很有道理的样子。最小二乘或平方差作为误差函数，是基于一些概率假设推导出了这个公式。这里有一些概率上的解释。让我们慢慢来看。

1.允许误差存在

首先要说明的，所有的预测值都不可能完美地与真实值契合，所以误差必然存在，而我们的目的就是如何让误差尽可能地小。这样就可以假设有一组θ，使真实的数据存在以下关系式，y(i)表示真实值，θTx(i)表示预测值，ε表示误差项：

2.假设误差是高斯分布

ε作为误差项，它捕捉了一些没有被设置为特征的变量，以房价为例，它可以代表房东的心情对售价的影响，或者代表此地区雾霾严重程度对房价的影响，或者随机误差。再假设ε是IID分布，即独立、同等分布，也就是高斯分布（或正态分布）：

其中μ是正态分布随机变量的均值，σ2是此随机变量的方差，也可以记作N(μ,σ2)。

设ε的平均值为0，方差为ε2，ε的高斯分布，也就是ε的概率密度函数表示如下：

3.求真实值的概率分布

而ε的概率密度函数，就是预测值与真实值差的概率密度函数，那么可以把上述两个等式合并，经过变换，得到如下等式：

根据正态分布公式，这个式子还可以这样理解，真实值y(i)是一个随机变量，θTx(i)是随机变量的平均值，p为变量y的概率密度函数。那么真实值y(i)的概率分布可以写作：

4.求联合概率分布

这样相当于给定一组θ、x，求出了y的概率密度分布。将此公式推广，用向量y和向量X代表所有的数据，就能够求出所有数据的联合概率分布：

把这个函数定义为似然函数。联合概率分布等于边缘概率分布的乘积，π代表累乘。

5.定义对数似然函数

这里我们就得到了一个关于x、y、θ的模型，它表示真实值y的联合概率分布。当我们想使预测正确的概率最大时，只需要将L(θ)最大化就可以了。于是，求值问题又变成了求最大值问题。为了方便计算，我们定义对数似然函数，l(θ)，也就是对L(θ)取对数，再求最大值。对数函数为一个单调递增函数，所以不会对原函数造成影响。取对数后，累乘变成累和：

左侧是一个常数项，右边是一个负数项。要让l(θ)最大，就要让负数项最小：

是不是很熟悉？这就是回归中的风险函数J(θ)的由来，也就是最小二乘法。最小二乘法是一种概率上的解释，它的目标是寻找一个θ值，使准确预测的概率最大化。因此，基于这些概率的假设，最小二乘法是回归问题中重要的估算方法。

如果你又问我，为什么误差项是高斯分布，那就等我想好怎么介绍中心极限定理吧。

本文参考：吴恩达CS 229 Machine Learning

http://cs229.stanford.edu/materials.html