数学归纳法和递归

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：

1. 证明当n = 1时命题成立。
2. 证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

1. 证明第一张骨牌会倒。
2. 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

例如：等差数列求和公式：

1 + 2 + 3 + ··· + n = n (n+1) / 2

根据数学归纳法，这个问题应该这样证明：

1. 当n = 1时，1 = 1 * 2 / 2成立；
2. 假设n = n - 1时，1 + 2 + 3 + ··· + (n - 1) = (n - 1) n / 2成立，那么
   原式左 = 1 + 2 + 3 + ··· + (n - 1) + n
   = (n - 1) n / 2 + n
   = n (n+1) / 2
   = 原式右
3. 得证。

为什么要说这个呢？
其实在程序设计中，递归就用到了这个思想。

如果将上例运用递归用编程语言写出来如下：

public int sum(int n){
    if(n < 1){    
        return -1;
    }
    if(n == 1){
        return 1;
    }
  //假设n - 1成立，这是一般的情况。
  //在代码书写中，先将一般的情况写出来构建出递归的框架，然后再去排除特殊的情况，以便完成递归。
    return sum(n - 1) + n;    
}

可以发现，这段代码将数学归纳法的思想恰当的体现了出来。

最后我们总结一下递归代码的书写方法：

递归书写方法：

1. 严格定义递归函数作用，包括参数，返回值，side-effect
2. 先一般，后特殊
3. 每次递归必须缩小问题规模
4. 每次问题缩小规模程度必须为1