切比雪夫不等式

2020-10-06 本文已影响0人 KyoDante

切比雪夫不等式由来

内容：对 $\forall \epsilon>0$ ，有 $P(|X-E(X)|\ge \epsilon)\le\frac{D(X)}{\epsilon^2}$

证明：记积分区域 $D: |X-E(X)|\ge\epsilon$ ，那么 $\frac{|X-E(X)|}{\epsilon}\ge1$
根据定义，得到：

$\begin{aligned} P(|X-E(X)|\ge\epsilon) &= \int_D f(x)dx \\ （放缩，乘上式平方）&\le \int_D (\frac{|X-E(X)|}{\epsilon})^2 f(x)dx \\ &= \frac{1}{\epsilon^2} \int_D (|X-E(X)|)^2 f(x)dx\\ （积分区域进行放缩）&\le \frac{1}{\epsilon^2} \int_{-\infty}^{+\infty} (|X-E(X)|)^2 f(x)dx \\ &= \frac{D(X)}{\epsilon^2} \end{aligned}$
即得证： $P(|X-E(X)|\ge \epsilon)\le\frac{D(X)}{\epsilon^2}$

切比雪夫不等式

切比雪夫不等式由来

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