预备知识

堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。

堆

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：

1024555-20161217182750011-675658660.png
同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
1024555-20161217182857323-2092264199.png
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
ok，了解了这些定义。接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤：

堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

1.假设给定无序序列结构如下

1024555-20161217192038651-934327647.png

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

1024555-20161217192209433-270379236.png
3.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
1024555-20161217192854636-1823585260.png

4.这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

1024555-20161217193347886-1142194411.png
此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

1024555-20161217194207620-1455153342.png

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

1024555-20161218153110495-1280388728.png
c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
1024555-20161218152929339-1114983222.png

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

1024555-20161218152348229-935654830.png
再简单总结下堆排序的基本思路：

a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

代码实现

OC:

/**
 * 堆排序
 */
- (void)HeapSort:(NSMutableArray *)arr{
    //1.构建大顶堆
    for(int i=(int)arr.count/2-1;i>=0;i--){
        //从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
        [self adjustHeap:arr num:i length:(int)arr.count];
    }
    //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
    for(int j=(int)arr.count-1;j>0;j--){
        [self swap:arr from:0 to:j];//将堆顶元素与末尾元素进行交换
        [self adjustHeap:arr num:0 length:j];//重新对堆进行调整
    }
}

/**
 * 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）
 */
- (void)adjustHeap:(NSMutableArray *)arr num:(int)i length:(int)length{
    NSNumber *temp = arr[i];//先取出当前元素i
    for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始
        if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点
            k++;
        }
        if(arr[k] >temp){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
            arr[i] = arr[k];
            i = k;
        }else{
            break;
        }
    }
    arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
}

swift:

func HeapSort(arr:inout Array<Int>) {
        //1.构建大顶堆
        for i in (0...(arr.count/2-1)).reversed(){
            //从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
            self.adjustHeap(arr: &arr, i: i, length: arr.count)
        }
        //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
        for j in  (1...(arr.count-1)).reversed(){
            self.swap(arr: &arr, a: 0, b: j)//将堆顶元素与末尾元素进行交换
            self.adjustHeap(arr: &arr, i: 0, length: j)//重新对堆进行调整
        }
    }
    
    /**
     * 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）
     */
    func adjustHeap(arr:inout Array<Int>,i:Int,length:Int){
        var i = i;
        let temp = arr[i];//先取出当前元素i
        var k=2*i+1
        while k<length {//从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始
            if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点
                k+=1;
            }
            if(arr[k] > temp){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
                arr[i] = arr[k];
                i = k;
            }else{
                break;
            }
            k=k*2+1
        }
        arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
    }

最后

堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。