人教版高中数学课本题：三角函数~习题5.5

2022-12-12 本文已影响0人易水樵

习题5.5

$\mathbb{Q5.5.1}$ 已知 $\sin\alpha=\dfrac{2}{3},\cos\beta=-\dfrac{3}{4}, \alpha \in (\dfrac{\pi}{2}, \pi), \beta \in (\pi, \dfrac{3\pi}{2})$ ，求 $\cos(\alpha-\beta)$ 的值.

$\mathbb{Q5.5.2}$ 已知 $\alpha,\beta$ 都是锐角， $\cos\alpha=\dfrac{1}{7},\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{11}{14}$ , 求 $\cos\beta$ 的值.

$\mathbb{Q5.5.3}$ 已知 $\sin(30°+\alpha)=\dfrac{3}{5}, \; 60°\lt \alpha \lt 150°$ ，求 $\cos\alpha$ 的值.

$\mathbb{Q5.5.4}$ 在 $\triangle ABC$ 中， $\sin A = \dfrac{5}{13}, \cos B = \dfrac{3}{5}$ ，求 $\cos C$ 的值.

$\mathbb{Q5.5.5}$ 已知 $\tan(\alpha+\beta)=3, \tan(\alpha-\beta)=5$ ，求 $\tan2\alpha, \tan2\beta$ 的值.

$\mathbb{Q5.5.6}$ 化简：

（1） $\sin\cos+\sin\cos$

（2） $\sin\sin+\sin\sin$

（3） $\sin(\alpha+\beta)\cos(\gamma-\beta) - \cos(\beta+\alpha)\sin(\beta-\gamma)$

（4） $\sin(\alpha-\beta)\sin(\beta-\gamma) - \cos(\alpha-\beta)\cos(\gamma-\beta)$

（5） $\dfrac{\tan\dfrac{5\pi}{4} +\tan\dfrac{5\pi}{12}}{1-\tan\dfrac{5\pi}{12}}$

（6） $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)-2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)}$

$\mathbb{Q5.5.7}$ 已知 $\sin\alpha=0.80$ ，求 $\sin2\alpha, \cos2\alpha$ 的值（精确到0.01）.

$\mathbb{Q5.5.8}$ 求证：

（1） $(\sin2\alpha-\cos2\alpha)^2=1-\sin4\alpha$

（2） $\tan(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}) + \tan(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}) = 2\tan x$

（3） $\dfrac{1+\sin2\varphi}{\cos\varphi+\sin\varphi} =\cos\varphi+\sin\varphi$

（4） $\dfrac{1-2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} = \dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}$

（5） $\dfrac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}=\tan^2\theta$

（6） $\dfrac{1+\sin2\theta-\cos2\theta}{1+\sin2\theta+\cos2\theta}=\tan\theta$

$\mathbb{Q5.5.9}$ 已知 $\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2}, \;\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{3}$ ，已经，求证：

（1） $\sin\alpha\cos\beta=5\cos\alpha\sin\beta$

（2） $\tan\alpha=5\tan\beta$

$\mathbb{Q5.5.10}$ 已知 $\dfrac{1-\tan\theta}{2+\tan\theta}=1$ ，求证： $\tan2\theta=-4\tan(\theta+\dfrac{\pi}{4})$

$\mathbb{Q5.5.11}$ 已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于 $\dfrac{3}{5}$ ，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切。

$\mathbb{Q5.5.12}$ 化简：

（1） $3\sqrt{15}\sin x + 3\sqrt{5}\cos x$

（2） $\dfrac{3}{2}\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin x$

（3） $\sqrt{3}\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}$

（4） $\dfrac{\sqrt{2}}{4}\sin(\dfrac{\pi}{4}-x)+\dfrac{\sqrt{6}}{4}\cos(\dfrac{\pi}{4}-x)$

$\mathbb{Q5.5.13}$ 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\tan A, \tan B$ 是 $x$ 的方程 $x^2 + p(x+1) +1 =0$ 的两个实根，求 $\angle C$ .

$\mathbb{Q5.5.14}$ 在 $\triangle ABC$ 中， $B=\dfrac{\pi}{4}$ ， $BC$ 边上的高等于 $\dfrac{1}{3} BC$ ，求 $\cos A$ .

$\mathbb{Q5.5.15}$ 求证：

（1） $3+\cos4\alpha-4\cos2\alpha=8\cos^4\alpha$

（2） $\dfrac{\tan\alpha\tan2\alpha}{\tan2\alpha-\tan\alpha}+ \sqrt{3}(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=2\sin(2\alpha-\dfrac{\pi}{3})$

$\mathbb{Q5.5.16}$ 是否存在锐角 $\alpha,\beta$ ，使 $\alpha+2\beta=\dfrac{2\pi}{3}$ ， $\tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\beta=2-\sqrt{3}$ 同时成立？若存在，求出 $\alpha,\beta$ 的度数；若不存在，请说明理由.