1.7无穷小的比较

2019-07-27 本文已影响0人薛定谔的老鼠_007

1、几点认识

（1）、0是无穷小，无穷小不一定为0，无穷小的极限为0.

（2）、一个有界函数乘以无穷小，结果还是无穷小。

2、无穷小的比较

$设 \alpha \rightarrow 0，\beta \rightarrow 0$

（1）、 $\lim\nolimits_{} \frac{\beta }{\alpha } =0$ ，称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的高阶无穷小。

（2）、 $\lim\nolimits_{} \frac{\beta }{\alpha } =\propto$ ，称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的低阶无穷小。

（3）、 $\lim\nolimits_{} \frac{\beta }{\alpha } =k$ (k为常数，不为0），称 $\alpha$ 与 $\beta$ 为同阶无穷小。

（4）、若（3）k=1，称 $\alpha$ 与 $\beta$ 为等价无穷小。

（5）、 $\lim\nolimits \frac{\beta }{\alpha ^k } =c$ （c为常数，不为0），称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的 k 阶无穷小。

理解：阶就是指的是指数，高阶就是说指数更大。指数越大，降得非常快，所以会出现两个都趋于0的变量导致两者的大小关系却是不尽相同。这里千万要注意趋于0绝对不等于0，这里体现的玲离尽致。以后看见高阶，同阶，不一定是指数了，理解成层次更好，高阶，高层次，降和升都特别快。同阶，属于一个层次的，相差不大，无非是相差一个常数如 $2x^2$ 与 $3x^2$ ，一个层次相差 $\frac{3}{2}$ 倍。其中（4）最有用，就是用它推导出下面的等价式（等价无穷小）。

3、等价无穷小

注意：求极限可以用等价式代换是要有条件的，必须是两个无穷小求极限，不是无穷小不能代换。

常见等价代换如下：

$x\iff \sin x$

$x\iff \tan x$

$x\iff arc \sin x$

$x\iff arc \tan x$

$x\iff e^x-1$

$x\iff \ln (1+x)$

$(1+x)^a-1\iff ax$

$1-\cos x \iff \frac{x^2 }{2}$

e^(ax)-1 $\iff$ ax

满足以上所有等价式的条件是 x $\rightarrow$ 0

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