怎么解与圆有关的轨迹问题

2021-02-25 本文已影响0人天马无空

怎么解与圆有关的轨迹问题

类型三与圆有关的轨迹问题

使用情景：与圆有关的轨迹问题
解题步骤：
第一步结合题意恰当的选择求圆有关的轨迹问题的方法如直接法、定义法、几何法和代入法
等；
第二步得出结论.
【例】点 $P(4,-2)$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 上任一点连线的中点的轨迹方程是（）
A． $(x-2)^2+(y+1)^2=1$
B． $(x-2)^2+(y+1)^2=4$
C． $(x+4)^2+(y-2)^2=4$
D． $(x+2)^2+(y-1)^2=1$
【答案】A
【解析】设圆上任一点为 $Q(x_0,y_0)$ ， $PQ$ 中点为 $M(x,y)$ ，

根据中点坐标公式得 $\begin{cases}x_0=2x-4 \\ y_0=2y+2\end{cases}$ ，

因为 $Q(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=4$ 上，

所以 $x_0^2+y_0^2=4$ ，即 $(2x-4)^2+(2y+2)^2=4$ ，

化为 $(x-2)^2+(y+1)^2=1$ ，故选A.

【总结】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程.求轨迹方程的常见方法有:

①直接法，设出动点的坐标 $(x,y)$ ，根据题意列出关于 $x,y$ 的等式即可；

②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；

③参数法，把 $x,y$ 分别用第三个变量表示，消去参数即可；

④逆代法，将 $\begin{cases}x_0=g(x) \\ y_0=h(x)\end{cases}$ 代入 $f(x_0,y_0)=0$ .

本题就是利用方法④求 $M$ 的轨迹方程的.

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