首先需要提出差商，差分的概念和性质

1.差商

定义：设有函数为一系列互不相等的点，称为关于点一阶差商（也称均差）记为，即：

称一阶差商的差商：

为关于的二阶差商，记为，一般地，称：

为关于点的阶差商，记为：

容易证明，差商具有下述性质：

2.Newton插值公式

线性插值公式可表成：

称为一次 Newton 插值多项式。一般地，由各阶差商的定义，依次可得：

将上述各式分别乘，然后相加并消去两边相等的部分，既得：

记：

显然，是至多次的多项式，且满足插值条件，因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为 Newton 插值多项式。称为 Newton 插值余项。

Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即：

因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于 Lagrange 插值。

由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与 Lagrange 余项也是相等的，即：


其中

同时可得差商与导数的关系：

3.差分

当节点等距时，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，Newton 插值公式的形式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示。

定义：设有等距节点，步长为常数，。称相邻两个节点处的函数值的增量为函数在点处以为步长的一阶差分，记为，即：

类似地，定义差分的差分为高阶差分。如二阶差分为：

一般的，阶差分为

上面定义的各阶差分又称为向前差分。常用的差分还有两种：

称为在处以为步长的向后差分：

称为在处以为步长的中心差分。一般地，阶向后差分与阶中心差分公式为：

差分具有以下性质：
(1)各阶差分均可表成函数值的线性组合，例如：


(2)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下：

4.等距节点插值公式

如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。设已知节点，则有：

若令，上式又可变形为：

上式又称Newton向前插值公式。