3. 数据的概括性度量

2017-04-23 本文已影响0人李小夭

数据的分布特征可以用柱形图、折线图或饼图等各种图表直观地进行展现。反映数据的分布特征的代表值，通常用集中趋势、离散程度和分布形状来描述。

在1. 当我们在谈统计学时，提到过数据按计量单位分为分类数据、顺序数据和数值型数据，针对这三种不同的数据类型，数据分布特征的描述也都不相同。

一、集中趋势：数据向中心值靠拢的程度

1. 分类数据——众数：出现次数最多的变量值(EXCEL：MODE函数)。

2. 顺序数据——中位数和分位数：中位数是指一组数据排序后在中间位置的变量值(EXCEL：MEDIAN函数)。四分位数是指一组数据排序后处于25%和75%位置上的值，其实中位数就是50%位置上的值(EXCEL：QUARTILE函数)。

3. 数值型数据——平均数：数据相加后除以数据的个数(EXCEL：AVERAGE函数)。

4. 众数、中位数和平均数的比较

不同分布的众数、中位数和平均数

当数据为偏态分布时，可以考虑选择中位数，代表性比平均数好。举个例子：

张村有个张千万，九个邻居穷光蛋。

统计平均算一算，各个都是张百万。

问：如果你要去张村做生意，是卖奢侈品还是生活用品？

二、离散程度：变量值远离中心的程度

1. 分类数据——异众比率：非众数组的频数的占比。占比越小，众数的代表性越好。

2. 顺序数据——四分位差：上四分位数与下四分位数之差。四分位差越小，集中程度越高。

3. 数值型数据——方差和标准差

（1)方差：计算公式如下，标准差为方差的平方根。

方差计算公式

分母n-1称为自由度。自由度是指一组数据中可以自由取值的个数，在方差公式中，首先计算的是X的平均数，在X的平均数确认后，必然有一个值不能自由取值，能自由取值的个数就是n-1个。

举个例子，假如有三个数，X平均值为5，其中有两个数分别为6和7，那么第三个数必然为2。

（2）相对位置的度量

在处理不同量纲的变量时，为了消除量纲差异，需要对变量进行标准化。

标准分数

标准分数表达了在一组数据中，各数值的相对位置。比如Z=-1.5，也就是比平均数低1.5个标准差。

除此之外，对称分布时的正态分布，任何分布形状的切比雪夫不等式，都对数据的分布与均值和标准差的关系做了很好的解释，后面涉及到时再做展开。

（3）离散系数

平均水平不同的变量，不宜直接比较标准差。离散系数能消除变量值水平高低和单位不同的影响。

离散系数（变异系数）= 标准差/平均值

离散系数越大，离散程度也越大。对不同的样本数据进行比较时，通常用离散系数。

三、偏态与峰态

偏态与峰态分布

1.偏态SK：对数据分布对称性的测量。(EXCEL：SKEW函数)

SK>0 右偏，SK<0，左偏。SK=0，对称。越接近0 ，偏态程度越低。SK越大，偏斜程度越大。

2.峰态K：数据分布平峰或尖峰程度的测量。(EXCEL：KURT函数)

峰态是与标准正态分布比较，服从标准正态分布，K=0。K>0，尖峰分布，数据比较集中，K<0，平峰分布，数据比较分散。

在EXCEL中，我们可以通过数据分析—描述分析，来获取偏度峰度，以及其他的数据概括性度量值。