高等数学(二)导数与微分

2021-08-14 本文已影响0人 AdRainty

（一）导数与微分的概念

1、导数的概念

定义1
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$
定义2
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x_{0} \rightarrow 0} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$
定理1 可导⇌左右导数存在且相等

2、微分的概念

定义3 若当△x→0时
$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right) \Rightarrow \Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$
可写成上面的形式，则称f(x)在点x₀处可微，称A△x为微分，记作 $d y=A \Delta x$

定理2 函数y=f(x)在点₀处可微的充分必要条件为y=f(x)在点x₀处可导，且有 $d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x=f^{\prime}\left(x_{0}\right) d x$

3、导数与微分的几何意义

导数的几何意义：导数f'(x₀)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线的斜率
微分的几何意义：微分 $d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x$ 在几何上表示曲线y=f(x)的切线上的增量

4、连续，可导，可微的关系

可导→连续
可导⇌可微
可微→连续

f(x)在x₀处可导→f(x)在x₀处连续（对）
f(x)在x₀处可导→f'(x)在x₀处连续（错）
f(x)在x₀处可导→ $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ 存在（错）

f(x)n阶可导→洛必达法则用到n-1阶导数
f(x)n阶连续可导→洛必达法则用到n阶导数

（二）导数公式及求导法则

1、基本初等函数的导数公式

只列举出几个

$\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a$
$\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{\ln a}$
$(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$
$(\tan \theta)^{\prime}=\sec ^{2} \theta$
$(\cot \theta)^{\prime}=-\csc ^{2} \theta$
$(\sec \theta)^{\prime}=\sec \theta \tan \theta$
$(\csc \theta)^{\prime}=-\csc \theta \cot \theta$
$(\arccos \theta)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}$
$(\arcsin \theta)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}$
$(\arctan \theta)^{\prime}=\frac{1}{1+\theta^{2}}$
$(\operatorname{arccot} \theta)^{\prime}=-\frac{1}{1+\theta^{2}}$

2、求导法则

有理运算法则
复合函数求导法
隐函数求导法
反函数的导数
若y=f(x)可导，且f'(x)≠0，则其反函数x=φ(y)也可导，且 $\varphi^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}$
参数方程求导法
设y=y(x)是由 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\Phi(t)\end{array}\right.$ 确定的函数，若 $\varphi(t) \Phi(t)$ 都可导，则 $\frac{d y}{d x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(\mathrm{t})}$
对数求导法

（三）高阶导数

1、定义

$y^{(n)}=\left[f^{(n-1)}(x)\right]^{\prime}$
若函数f(x)在x处n阶可导，则在点x的某领域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数

2、常用的高阶导数公式

$(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)$
$(\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)$
$(\mu v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \mu^{(k)} v^{(n-k)}$

3、相关变化率

求解方法：

建立相关率与变量之间的关系
方程两边同时对t求导