（10.2）James Stewart Calculus 5th
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dodo_lihao
Calculus with Parametric Curves 参数曲线的微积分
表示曲线的参数等式。
对应的微积分在 参数曲线的应用。
通常解决问题会用
- Tangents 切线
- **area 面积 **
- arc length 弧长
- surface area 表面积
Tangents 切线
前面 自变量 和 因变量 之间的表达式，很好理解
这里 参数方程， 例如 x = f（t） 和 y = g（t） 的表达。
最后得到 y = F（x）
也就是： g（t） = F（f（t））
【注意： 这里 g，F，f都是可微的】
通过链式原则，可以得到
如果
我们可以得到：
其实， 换一种写法，也就是：
例子1
（a）
因为过（3，0）
可以得到 t = 0， 或者 t = 正负根号3 （先简单这样写吧，哎）
这里x = 3， 也就是 t 为 正负根号3
在（3，0）有2个切线值， 我们可以得到
由 t 为 正负根号3
可以得到：
所以，2个切线为：
（b）
水平切线，也就是 斜率为 0
- dy / dx = 0，
- dy / dt = 0 , dx / dt ≠ 0
竖直切线，也就是
- dx / dt = 0
- dy / dt ≠ 0
具体过程
【水平切线】，由
可以得到
并且这个时候，都满足：dx / dt ≠ 0
可以得到对应的点（1，2），（1，-2）
【竖直切线】，由
dx / dt = 2t = 0
可以得到 t = 0
这个时候，dy / dt ≠ 0
我们可以得到点（0，0）
（c）
我们求2次导数，有：
可以知道
- t > 0 的时候， upward
- t < 0 的时候， downward
（d）
自己就贴一下图，不是自己画....
Areas 面积
对应的由 自变量，因变量 到 第3参数，其实就是一个转换的过程
都用t表示即可
例子3
我们先看下图3：
再由
和
我们可以把面积 A 化简为：
Arc Length 弧长
之前有，当曲线C连续，也就是 F 可导，有：
如果有：
这个时候，我们把自变量都变成t，有：
当
有：
具体证明，略
例子4
这里10.1的 Example2， 我们贴一下题目和图：
图：
这里，由：
我们可以表示对应的弧长：
Surface Area 表面积
如果 f' ， g' 存在，并且连续， 还有 g(t) >= 0
我们有：
例子6
对应的球体，就是半圆旋转得到的：
有
所以，表面积为：
证毕
