近代物理概念题

2018-11-11 本文已影响13人 ianwest

玻尔兹曼分布律

$P(E) \propto e^{-E/kT}$

This is the probability that a system in equilibrium at a temperature T will be found in a microstate of energy E.

$\frac{P(E_2)}{P(E_1)} = e^{\frac{E_1 - E_2}{kT}}$

三种统计分布

假设能级 $\epsilon_i$ ，能级简并度为 $g_i$ ，

玻色-爱因斯坦分布

$\left\langle n_i \right\rangle_{BE} = \frac{g_i }{\exp(\frac{\epsilon_i - \mu} {kT}) - 1 }$

费米-狄拉克分布

$\left\langle n_i \right\rangle_{FD} = \frac{g_i }{\exp(\frac{\epsilon_i - \mu} {kT}) + 1 }$

口诀：玻负费正

麦克斯韦-玻尔兹曼分布

$\left\langle n_i \right\rangle_{MB} = \frac{g_i }{\exp(\frac{\epsilon_i - \mu} {kT}) }$

系综

简要说明什么是系综？什么是混合系综？什么是纯系综？

热力学量

内能E，

$d E = T dS - p dV + \mu dN$

自由能F被定义为：

$F = E - TS$

对F的全微分

$dF = - S dT - p dV + \mu dN$

我们可用对F的偏微分来表示S

$S = - \left(\frac{\partial F}{\partial T} \right)_{V,N}$

类似地

$p = - \left(\frac{\partial F}{\partial V} \right)_{T,N}$

$\mu = \left(\frac{\partial F}{\partial N} \right)_{T,V}$

其物理含义，比如对最后一个式子，我们可说：在T和V不变的情况下，化学势 $\mu$ 是每增加或减少一个粒子自由能F的变化。

什么是熵

熵是无序的量度，从微观的角度，熵定义为：

$S = k \ln \Omega$

其中 $\Omega$ 是系统的微观状态数。

假设有M个全同粒子，其中 $n_i$ 个处在第i个微观状态，

$\Omega = \frac{M!}{n_1 ! n_2 ! n_3 ! ... } = \frac{M!}{ \Pi_i n_i !}$

如果我们定义粒子处在第i个态的几率是 $P_i$

$P_i = \frac{n_i}{M}$

可用证明此时熵可表示为：

$S = -k \sum\limits_i P_i \ln P_i$

从宏观的角度，

$\Delta Q = T \Delta S$

或：

$\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}$

约定系统吸热， $\Delta Q$ 取正， $\Delta S$ 也取正。

内能的变化：

$\Delta E = \Delta Q + \Delta W = T \Delta S - p \Delta V$

上式即所谓热力学第一定律。

热力学定律

简述热力学第一定律、第二定律和第三定律。

态密度

能量态密度

$g(\epsilon ) = \frac{d N}{d \epsilon}$

考虑边长L的方盒子，体积 $V=L^3$ 。

盒子里面是自由粒子。根据量子力学的边界条件：

$\lambda_n = \frac{2L}{n}, n = 1,2,...$

对三维空间而言：

$\lambda_{n_x} = \frac{2 L}{n_x}, \lambda_{n_y} = \frac{2 L}{n_y}, \lambda_{n_z} = \frac{2 L}{n_z}$

利用：

$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$

可得：

$k_x = \frac{\pi n_x}{L}, k_y = \frac{\pi n_y}{L}, k_z = \frac{\pi n_z}{L}$

自由粒子的能量：

$\epsilon = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$

$n_x$ , $n_y$ , $n_z$ （都大于0）分布在1/8的全卦限里。

$N(n) = \frac{1}{8}\frac{4 \pi n^3}{3} = \frac{\pi}{6} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)^{3/2}$

改写为以能量 $\epsilon$ 为宗量：

$N(\epsilon) = \frac{\pi}{6}\left( 2m \epsilon \frac{L^2}{\hbar^2 \pi^2} \right)^{3/2} = \frac{L^3}{6\hbar^3 \pi^2}(2m \epsilon)^{3/2}$

把 $L^3$ 改写为V，现在：

$g(\epsilon) = \frac{dN(\epsilon)}{d \epsilon} = \frac{V}{4 \pi^2 \hbar^3}(2m)^{3/2} \epsilon^{1/2}$

如果是自由电子的话，考虑到电子的自旋简并为2，自由电子的能量态密度为：

$g_e(\epsilon ) = \frac{V}{2 \pi^2 \hbar^3}(2m)^{3/2} \epsilon^{1/2}$

需要注意的是电子的态密度和光子的态密度是不同的。

配分函数

配分函数的定义为

$Z= Tr e^{-\beta H}$

假设存在本征值问题

$H \left| n \right\rangle = E_n \left| n \right\rangle$

在能量表象下

$Z = \sum\limits_n e^{- E_n /kT}$

考虑简谐振子

$E_n = (n + \frac{1}{2}) \hbar \omega, n = 0, 1, 2, ...$

求简谐振子的配分函数

$Z = \sum\limits_n e^{- \beta n \hbar \omega } e^{- \frac{ \hbar \omega }{2} } = e^{- \frac{ \hbar \omega }{2} } \sum\limits_{n = 0}^{\infty} e^{- \beta n \hbar \omega } = \frac{e^{- \frac{ \hbar \omega }{2} } }{ 1 - e^{- \beta \hbar \omega } }$

上式利用了等比数列求和公式

$a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

类似还可求费米子的配分函数，但对费米子而言 $n = 0, 1$

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