张量分析和微分几何

题目很大，但是写的东西肯定是受限的，写不了太多。

张量分析其实很有意思，看着很高级，很牛皮，很有技术含量。其实，还不如称为向量场求导数来的明白，还有这个微分几何，光名字就能把人吓一跳，实际上就是随处可见的网，铁丝网，纱窗，毛衣，这样一看，就不用怕了。为什么他们这么简单，却非得搞得这么高级，这就是门槛，人为区分的标准，用来隔绝普通人和高级人的。当然，这是个笑话，毕竟，虽然可以把他视作随处可见的事物，但是，想要清楚的表达出来还是很不容易的事情。

首先说毛衣，毛衣是一根根线编成的，一般来说就是横纵两组线，这些线就围成了一张网，看起来就是一个曲面，不平，这就是微分几何研究的东西，曲面和曲面上的几何量。几何量，就是初等几何的那些东西，线的长度，两条线的夹角，面的面积，两个面的夹角，只不过，这里出现了新的变化，那就是面的弯曲程度，这个肉眼就能看出区别，有的面弯的很，有的差不多就是平的。这种区别自然就能通过一个量来区分，这就是曲率。搞工程的，对曲率那肯定不陌生，那里有弯那里就有曲率。

微分几何就是个这东西，找个纱窗，或者铁丝网，由于风吹，或者东西压，表面总是凹凸不平，把他每一个点的凹凸情况都给他表示出来，这就是这个面的曲率了，这个网，是由线条交织成的，说到线，自然考虑到线的走向，曲线上每一点的走向都给他表示出来，这就是曲线的切线族，一点的切线那就叫切线，整个曲线上所有点的切线那就是无数条切线，就叫切线族，有的称切线丛，丛，族，都是说数量很多。这就让我想到了纤维从这个词，虽然很早就听说过，但一直觉得很高级，知道了就很了不起，其实，这就是很多条纤维，切线从其实就是一种纤维从。之所以难理解，是因为我们喜欢关注一点的情况，很难把握整体的情况，所以一说这个面上面每一个点的所有切线，就感觉想象不出来了，其实，多画几条线就行了，想象这线越来越密，就是切线从了。实际上，也没必要非得想象整体的图像，因为用的时候都是从局部入手的，比较整体的图，想象起来就头大，人根本无法同时关注这么多的对象。

张量分析，就是对这切线从的导数，切线从其实可以认为是一个速度场，就像风场一样，每一个点都有一个小箭头，这就是每一个点风吹的方向，速度求导数，就是加速度，加速度和力关系紧密，所以为了求每一个点的风力，自然要对速度场求导数，这就产生了问题，速度场是个矢量场，他的导数也是个矢量场，一般的求导方法就不够用了，毕竟一般求导是对函数求的，函数一般是数与数之间的对应。所以，这个求导的方法就是张量，一个二阶张量，接受一个矢量，输出一个矢量，天然的和求导数一样，所以求导数就可以用张量来表示，对于单个点就是张量，对于曲面上所有点，就是张量场，这也是一个纤维从，因为是很多的张量。这样，张量分析就不难理解了，一般就是起到求导数的作用，当然，还有别的作用，那就是求面积，我们都知道两个不共线矢量可以构成一个面，他的面积可以通过矢量间的点积运算获得，平面上总可以这样做，但是，曲面的面积肯定不同于平面，因为曲面可以拱起来或者凹下去，所以，我们就不能直接求面积，还是需要借助于张量，一个二阶张量，接受一个矢量，输出一个矢量，而接受两个矢量，输出的就是一个数，这天然的和求面积的过程一样，所以，一个二阶张量乘上两个矢量，就可以求出曲面的面积。对于体积，就需要更高阶的张量，一个三阶张量乘上三个矢量，可以求取三维曲面的体积，但是，这时候，根本就想象不出来三维曲面是什么玩意，因为三维曲面至少需要在四维空间中才能表示出来，四维空间是无法直接想象的。

但是，数学家不管能不能想象，只要能算，一个无穷维的体积都给你表示出来，在他们的干涉下，张量分析就变得非常的抽象了，数学家自己都无法想象自己写出来的东西，只是埋头再算，所以，其他人也就慢慢远离了他们，但是遇见了问题，却还得向他们求教。

这就是高深的张量分析和微分几何，其实也没什么高深的，都是随处可见的东西，毛衣，织布，汽车外壳，那里有弯曲，那里就有他们的身影。