三大方程

2020-05-15 本文已影响0人洛玖言

因为前面几个月没有好好学，现在马上就要线上考试了(呕，线上考试作弊简单的一批，花几十块钱就能找到代做了，老师说的那些保证公平的方法都只是让不作弊的人难受而已)

波动方程
热传导方程
调和方程

波动方程

$u_{tt}=a^2\Delta u +f(\vec{x},t)$

边界条件

第一类边界条件(Dirichlet 边界条件)

$u(x_0,t)=g(x_0,t)$

第二类边界条件(Neumann 边界条件)

$u_{x}=\mu(t)$

第三类边界条件

$\left(u_{x}+\sigma u\right)\big|_{x=l}=v(t)$
$\sigma>0$

热传导方程

$u_{t}=a^2\Delta u+f(\vec{x},t)$

边界条件

第一类边界条件(Dirichlet 边界条件)

$u(x,t)|_{\vec{x}_0\in\Gamma}=g(\vec{x}_0,t)$

$\Gamma$ 为物体的边界曲面， $g(\vec{x},t)$ 是定义在 $\Gamma,\;0\leqslant t\leqslant T$ 上的已知函数.

第二类边界条件(Neumann 边界条件)

$\dfrac{\partial u}{\partial\vec{n}}\bigg|_{\vec{x_0}\in\Gamma}=g(\vec{x}_0,t)$

这里 $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 表示 $u$ 沿边界 $\Gamma$ 上的单位外法线方向 $\vec{n}$ 的方向导数， $g(\vec{x},t)$ 是定义在 $\vec{x}\in\Gamma,\;0\leqslant t\leqslant T$ 上的已知函数.

第三类边界条件

$\left(\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\sigma u\right)\bigg|_{\vec{x}_0\in\Gamma}=g(\vec{x}_0,t)$
$\sigma>0$ ，这里 $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 表示 $u$ 沿边界 $\Gamma$ 上的单位外法线方向 $\vec{n}$ 的方向导数， $g(\vec{x},t)$ 是定义在 $\vec{x}\in\Gamma,\;0\leqslant t\leqslant T$ 上的已知函数.

泊松方程

$\Delta u\equiv f(\vec{x})$

调和方程

$\Delta u\equiv 0$

方程及解 $u$ 与时间 $t$ 无关，所以定解条件中只有边界条件，此种定解问题称为边值问题.

第一边值问题(Dirichlet 问题)
在空间 $(x,y,z)$ 中某一区域 $\Omega$ 的边界 $\Gamma$ 上给定了一个连续函数 $g$ ，要求找出这样的一个函数 $u(x,y,z)$ ，它在 $\Omega$ 内是调和函数，在 $\Omega\bigcup\Gamma$ 上连续，并在 $\Gamma$ 上与已给的函数 $g$ 重合：
$u\big|_{\Gamma}=g$
第二边值问题(Neumann 问题)
在某光滑的闭曲面 $\Gamma$ 上给出连续函数 $g$ ，要寻找这样一个函数 $u(x,y,z)$ ，它在 $\Gamma$ 的内部区域 $\Omega$ 中是调和函数，在 $\Omega\bigcup\Gamma$ 上连续，且在 $\Gamma$ 上的任一点沿 $\Gamma$ 的单位外法线方向 $\vec{n}$ 的方向导数 $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 存在，并且就等于已给函数在该点的值：
$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}\bigg|_{\Gamma}=g$
狄利克雷外问题
在空间 $(x,y,z)$ 的某一闭曲面 $\Gamma$ 上给定连续函数 $g$ ，要找出这样一个函数 $u(x,y,z)$ ，它在 $\Gamma$ 的外部区域 $\Omega'$ 内调和（无穷远处除外），在 $\Omega'\bigcup\Gamma$ 上连续，当店 $(x,y,z)$ 趋于无穷远时， $u(x,y,z)$ 一致地趋于零，并且它在 $\Gamma$ 上取给得的函数值
$u\big|_{\Gamma}=g$
上面的 $u(x,y,z)$ 一致地趋于零，即 $\displaystyle\lim_{r\to\infty}u(x,y,z)=0\quad(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2})$
诺伊曼外问题
在光滑的闭曲面 $\Gamma$ 上给出连续函数 $g$ ，要求找出这样一个函数 $u(x,y,z)$ ，它在闭曲面 $\Gamma$ 的外部区域 $\Omega'$ 内调和，在 $\Omega'\bigcup\Gamma$ 上连续，在无穷远处满足条件 $\displaystyle\lim_{r\to\infty}u(x,y,z)=0\quad(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ ，且在 $\Gamma$ 上任一点沿趋于 $\Omega'$ 的单位外法线方向 $\vec{n}'$ (指向曲面 $\Gamma$ 的内部)的法向导数 $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}'}$ 存在，并且满足
$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}'}\bigg|_{\Gamma}=g$