「哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成」读书笔记上部

本篇笔记因为篇幅超长（共两万八千余字），超出简书允许的字符数，所以拆成两部分，各对应书的上半部和下半部。下半部笔记在这里。因为人气的下滑，和这本书的专业性，我需要时间确定下如何写这一篇文章，敬请期待。

上篇 集异璧 GEB

导言

• 巴赫
  • 巴赫以国王主题为题即兴创作「音乐的奉献」给普鲁士国王腓德烈大帝
  • 卡农和赋格
    • 卡农：一个单一的主题与它自己相伴而奏
    • 赋格：单独一个声部唱出主题，唱完后第二个声部或移高五度或降低四度进入
  • 无穷升高的卡农——Canon per Tonos
    • 引出怪圈的概念：向某一方向穿过某种层次系统中的一些层次时，正好回到了开始的地方
• 艾舍尔——怪圈的艺术
  • 「瀑布」，「上升与下降」、「画手」、「画廊」
• 哥德尔
  • 「艾皮曼尼蒂斯悖论」或「说谎者悖论」：这句子是假的。
  • 哥德尔不完备性定理
    • 数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题
    • 无论涉及到什么公理系统，可证性总是比真理性弱
• 数理逻辑提要
  • 十九世纪晚期，整理出严格的演绎推理模式，成书「思维的法则」
  • 十九世纪八十年代，集合论
    • 集合论的悖论——怪圈仍然存在
      • 罗素悖论
      • 格瑞林悖论
  • 消除怪圈
    • 罗素和怀特海的「数学原理」：将所有集合分级，只有高一级的才可以包含该层，也就没有了怪圈
      • 分层法：将语言分层来禁止循环，从最底层的对象语言、元语言、元元语言等等
      • 这种方法完全不能用在日常语言中
  • 一致性、完全性和希尔伯特方案
    • 利用数学的一小部分来证明整个数学方法是正确的（相当于用手拽着鞋来确实地让脚离地，相对于抓自己的头发不能让自己升高）
    • 哥德尔不完备性定理彻底否决了所有尝试
  • 巴比奇、计算机、人工智能……和巴赫
    • 查尔斯·巴比奇（1792-1871）构想出计算机的存储和加工装置
    • 计算机和人工智能
      • 利用不同层次的规则（上层管理控制下层）来模拟智能
    • 巴赫代表音乐，有神学家认为人工智能永远无法理解音乐，那是灵魂的领域
• 哥德尔、艾舍尔、巴赫为三块异璧

三部创意曲

• 芝诺与其为说明「芝诺定理」而创作的人物阿基里斯和乌龟
• 没啥内容，只作为起始介绍一下芝诺悖论和后面的出场两位虚拟人物

第一章 WU谜题

• 形式系统
• WU谜题：只使用WUJ三个字母和4条已有规则，把WJ变换为WU
• 定理、公理和规则
  • 定理：在形式系统中按照一定的规则产生出来的
  • 公理：无偿提供的定理
  • 规则：符号变换规则，生成规则，推导规则
  • 推导：按照形式系统中的规则逐行生成该定理的明显论证
• 系统内外
  • 机器有可能在做某件事的时不去观察，而人不可能不去观察。机器可以不知抱怨地重复做一样的事情而不意识到模式上根本就不会有结果。
• 跳出系统
  • 如果系统的定义是按照规律做一些事情，那么计算机有能力跳出系统
  • 如果系统的定义是计算机按照程序做所作的一切，那计算机很显然无法跳出系统
  • 人在做一件事情重复失败的时候，会跳出系统观察总结反思
• W方式、J方式和U方式
  • W方式：像有思维的人一样工作
  • J方式：像机器一样工作
  • U方式：禅宗的处世态度
• 判定过程：WU真的可以出现吗？
  • 如果有一个检验定理的测试，一个总是在有限长的时间内终结的测试，那么，这个测试就叫做给定形式系统的判定过程。
  • 公理有判定过程，定理则可以没有

二部创意曲

• 无论是何种的推理，哪怕是最简单的三段论推理，仍然可以引入无穷多的前提，也就是说，永远无法完整无矛盾地证明

第二章 数学中的意义与形式

• 以pq形式系统来模仿现实中的加减法
  • 公理定义、定理和定理生成规则
  • 良构：构型良好的字符串，从形式上无法排除无法否认的符号串
  • 自顶而下和自底而上
    • 自顶而下：拿到一条符号串，检测是不是公理，如果不是公理，将其分解成多个更短些的字符串，再次检查公理，一直分解下去，直到遇到公理或者不能再分解缩短为止（注：类似反证法，先假设要证明的是正确的，以此为条件来反推）
    • 自底而上：拿到一个符号串，将所有的公理和它能产生的定理，以及定理产生的定理等等一一列出，直到出现符合该符号串规则的为止（注：常见的正顺序证明方法）
  • 同构产生意义
    • 同构：保存信息的变换。两个复杂结果可以互相映射，并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分。
    • 同构具有模糊性
    • 「解释」：符号和词语之间的同构关系
    • 有意义和无意义的解释——真理和定理相互对应的解释为有意义的
    • 主动意义之于被动意义
      • 主动意义：所得到的新的意义，创造定理的规则也同时增加了，意义变成了规则
      • 被动意义：在形式系统中，意义一定是被动的。我们没有权利根据新的意义来创造出新的定理。
    • 双重意义：行驶系统中的符号不一定只有一个确定意义，也有可能在其他的解释下，定理同样会变成真理。（2+3=5和2=5-3）
  • 形式系统和现实
    • 现实能不能用行驶系统来完整模仿吗？答案仍然不确定，因为答案关系到宇宙是否是以完全确定的方式运动。
  • 数学和符号处理
    • 我们无法在有限时间内通过穷举法验证形式系统的完整正确性
    • 数学的乘法是基于一些加减法的性质，而这些性质被默认假定为对所有数字都有效，人们可以试验2x3的结果，但是无法验证123456789x987654321的结果
  • 算术的基本法则
  • 理想的数：形式系统能够彻底把我数论的性质？
    • 欧几里得定理及其证明（注：搜索到的欧几里得定理和书中描写素数的定理不一致？）
  • 绕过无穷
    • 用有限的词语和正确的使用理解方式，来推广体现出无穷
    • 欧几里得定理的仔细剖析可以得到数量极为庞大的互相有关联的微小证明

无伴奏阿基里斯奏鸣曲

• 模仿巴赫的「无伴奏小提琴奏鸣曲」
• 阿基里斯的电话独白
• 艾舍尔的「镶嵌画II」
• 开始引入「图形」与「衬底」的概念

第三章 图形与衬底

• 素数之别于合数
• tq系统：pq系统的乘法版
• 把握合数：利用tq系统，如果xqy-tz-是定理，则Cx（是合数）是定理
• 对素数的非法刻画
  • 不能说对于一个数x，Cx不是定理，Px就是定理
• 图形和衬底
  • 流畅可画出图形：衬底只是绘画过程中的替代品
  • 倍流畅图形：图形和衬底都是流畅可画出的
  • 例：以鸟作瓦、FIGURE-FIGURE
• 音乐中的图形与衬底
• 递归可枚举集之别与递归集
  • 存在一个形式系统，其负空间（非定理集）不是任何一个形式系统的正空间（定理集）
  • 存在非递归的递归可枚举集
    • 递归可枚举是艺术上的「流畅可画出」
    • 递归是艺术上的「倍流畅」
• 素数作为图形而非衬底（证明素数）
  • 测试一个数能否被2整除，然后是3、4、5一直到x-1

对位藏头诗

• 播放机在播放一些音乐的时候自我震碎了
• Bach的上下前后颠倒以后，演奏尾声的时候，阿基里斯送给乌龟的巴赫的高脚杯炸碎

第四章 一致性、完全性和几何学

• 隐含意义与显明意义
  • 很容易犯的错误：把全部意义归结于对象，而非对象与真实世界的联结。
• 「对位藏头诗」的显明意义
  • 第一层意义是音乐意义
  • 第二层意义是唱机引起的震颤序列
    • 第二层意义依赖于两个同构
      • 任意纹道模式与空气震颤之间的同构（发出声音）
      • 任意的空气震颤与唱机震颤之间的同构
• 「对位藏头诗」的隐含意义
  • 乌龟在前半部分是恶作剧的始作俑者，在后半部分却成了同样一出戏的受害者，这是一层和恶作剧本身一样的倒戈
• 「对位藏头诗」与哥德尔定理之间的映射
• 赋格的艺术
  • 巴赫在将自己的名字使用进乐谱的时候，健康状况恶化，也是倒戈
• 哥德尔的结果造成的问题
  • 没有一个足够强有利的形式系统会在下述意义上是完备的：能够把每一个真陈述都作为定理而重现在该系统中。
  • 不完全性：对于任何一个形式系统，真理超出该系统所规定的定理资格
• 修改了的pq系统与不一致性（x=x+1）
  • 外部不一致：与世界真理不一致
  • 内部不一致：x到底等于几？
• 重新获得一致性：通过修改解释方法，q不再是等于，而是等于或小于
• 欧几里得几何的历史
  • 欧式几何的五条公设中，最后一条平行线公设最不美观
  • 无数人试图证明第五共设是前四条共设的一部分，全部失败
    • 济罗拉莫·萨彻利，兰伯特，最后由雅诺·鲍勃和尼古拉伊·罗巴切夫斯基发现非欧氏几何
• 未定义项：没有确定的定义，而是借助在定理中扮演的角色而获得被动意义的（必去q可以使等于也可以是小于等于）
• 多重解释的可能性
  • 一致性不单是形式系统的性质，还依赖于为之提出的解释
• 各种各样的一致性
  • 一致性：指其中每个定理经解释后都成为一个真陈述
  • 如果每个定理经解释后成为真的，则系统加上解释是与外部世界一致的
  • 如果所有的定理经解释后成为彼此相容的，则系统加上解释是内部一致的
• 假想的世界和一致性
  • 一致性可以有很多标准：逻辑一致性、数学一致性、物理一致性、生物学一致性etc
  • 有意思和没意思的分界线是年华在数学一致性和物理一致性之间的，也就是说，只有逻辑和书写的不一致性才算是
  • 再次确认，破坏一致性只需要改变某些解释
• 形式系统中嵌入形式系统
  • 形式系统常常是以相继的、或者说分层的方式构造出来的（形式系统1并入形式系统2并入3并入4）
• 视知觉中的稳定性层次
  • 艾舍尔的「相对性」
• 数论在每个可想象的世界里都是一样的吗？（注：抛砖引玉）
  • 皮亚诺算术
• 完全性
  • 如果一致性是获得被动意义的最低条件，那么，完全性，是那些被动意义的最高确认
  • 完全性：所有真的（在某个想象的世界里）且可表示成 系统中的良构符号串的都是定理。
  • pq系统就是完全的，不过它就像是低保音唱机，无法包容改进除了简单自然数加法外的数学理论
• 一个解释怎样就能达到或破坏完全性？
  • 没有精确反映出定理在系统中的作为
    • 可以向系统中添加新的规则
    • 可以紧缩解释
  • 修改后的pq系统：q不再是小于等于，而是等于或加1后等于
• 形式化数论的不完全性
  • 试图增加规则以克服数论的不完全性，会陷入不断添加新的规则以克服之前添加规则的漏洞的无限迭代（类似「二部创意曲」一章）

和声小迷宫（图p169）

• 阿基里斯和乌龟在游乐场玩，通过一条缆绳，在「大风车」的最顶端被拽入一架直升飞机内，郝晕说要把乌龟做成馅饼。阿基里斯和乌龟在郝晕的书房里发现一本叫做「阿基里斯和乌龟在全球瞎逛时引人入胜的历险」，开始阅读里面的一篇故事：「神怪和煮调饮」
  • 阿基里斯家
    • 故事中，阿基里斯和乌龟通过「推入露」进入到艾舍尔的「凹与凸」中，他们带着煮调饮以从画中回到现实。在画中，他们历险拿到神灯，神怪许给他们三个愿望，阿基里斯许愿他们能有一百克愿望可以被实现，但是神怪无法完成「元愿望」，只有通过自己的「元灯」找「元神怪」，「元神怪」通过自己的「元元灯」找「元元神怪」，一直到造物主，然后再次递归回来，告诉阿基里斯可以许一个无类型愿望，即任意愿望。神怪解释说，造物主「永远」到达不了，它不是某个神怪，而是在所有等级的神怪之外的概念。阿基里斯为了挑战无类型愿望的极限，他说他希望自己的冤枉不被批准。
    • 系统因此崩塌，二者都被弹到了艾舍尔的「爬虫」中。阿基里斯不小心把带来的煮调饮碰掉，乌龟在读「乌龟和阿基里斯在全球各地转悠时的历险」，阿基里斯说要下一层去捡煮调饮，乌龟答应。
      • 这次他们进入了巴赫的「和声小迷宫」的唱片，他们在沟回之中奔走，乌龟说巴赫的这首曲子是以繁复的变调出名，在最后会留下隐忍遐想的突然不和谐终止。阿基里斯和乌龟都掉进大洞里，大洞是大雕（创造迷宫并且嘲笑一切迷路之人的大雕，暗指巴赫）的老窝，他们吃掉旁边的「弹出锅酥」，故事结束。
    • 二人向上爬了一层楼，从画中退出。
  • 二人回到了乌龟的房子

第五章 递归结构和递归过程

• 递归即嵌套
  • 地规定以从来不以某一事物自身来定义这个事物，而总是用比其自身简单一些的说法来定义这个事物。
• 推入、弹出和堆栈：计算机科学概念
  • 堆栈可以理解为一摞盘子，往最上方放一个盘子为推入，从上方拿走一个盘子为弹出
• 音乐中的堆栈
• 语言中的递归
  • 递归迁移网（RTN）：表示出为完成一项特殊任务可以遵循的各种通道
  • 「终了」和异层结构
    • 定义中总会有一部分避免了自指，即到达了终了
    • 异层结构：没有最高层次或控制层的程序结构，互相调用全部平等
  • 扩展节点：将所调用的程式代入调用的节点上
• 图案G和递归序列（斐波那契数列）
  • 一个紊乱的序列
    • Q(n) = Q(n-Q(n-1)) + Q(n-Q(n-2)), when n>2
• 两个令人惊异的递归图
  • 递归的定义需要1基底和2递归规则
  • INT图：由本身的无限迭代的副本组成的
  • G图，一个磁场中理想晶体里的电子的能量带
• 物质最低层次上的递归
  • 裸粒子，即不和其他例子相互作用的粒子不存在。
  • 例：当光子和电子为实际的「重正化了的」，二者要从A点到B点，必定会经过无法统计的互相牵扯。
    • 费因曼图案
    • 每个存在的粒子都涉及到无数其他粒子的存在，在身后拖着「虚云」，「虚云」中的虚粒子又拖着它们的「虚云」，无限迭代
• 副本和同一性
  • 艾舍尔「鱼和鳞」「蝴蝶」
  • 一个东西的部分是这个东西自身的副本，DNA，巴赫的音乐和艾舍尔的画都具有同一性，见微知著
• 程序设计与递归：模块性、循环、过程
  • 循环：一遍一遍地执行某些相互有关联的步骤，当遇到指定的条件时就终止。
  • 过程：（procedure？）把一组操作集合在一起，以方便随时调用
  • 无处不在的「模块化」
• 弈棋程序中的递归
  • 侯世达定律：做事所花费的时间总是比你预期的要长，及时你的预期中考虑了侯世达定律（注：这个定律其实也像是个递归）
• 递归和不可预测性
  • 复杂到一定程度的递归系统，其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。（使得智能能够成为智能）

音程递增的卡农

• 对于同一文字序列的不同解释
  • 俳句
  • 每个人都各有自己的方法来解译我们接受的信息
• 音程增值的三首卡农在同一唱机上播放
  • 「4分33秒」约翰·卡奇

第六章 意义位于何处

• 什么时候事物不总是同样的？
  • 意义是一条消息固有的，还是心灵或机器与一条消息的相互作用中产生的？
• 信息携带者与信息揭示者：唱片与唱机
• 遗传型和表现型：DNA和生物
• 异常同构和平凡同构
  • 平凡同构：一个结构的各部分可以很容易地对应于另一个结构的各部分（唱片和唱机）
  • 异常同构：遗传型和表现型的各部分不能很轻易地一一对应（DNA和生物）
• 自动唱机和触发器
  • 触发器：触发了从遗传型到表现型的变化过程
  • 唱机和唱片可以完全分离，意义位于长篇中，而唱机不过是大环境。DNA是否也是如此？
• DNA和化学环境的必要性
  • 一种观点认为：为了使DNA有意义，化学环境是必须的；另一种观点认为：揭示一束DNA的固有意义，只有智能是必须的
• 一个假想的飞碟：如果一个
• 消息的理解层次
  • 就算外星人能够造出以太昌吉来播放唱片，仍然不能算是理解了唱片的真正意义
  • 如果能直接在目标脑袋里制造同样的反应、景象和联想，那么不通过声音或光当做媒介也是可以的
• 太空幻景
  • 任何消息是否在本质上都具有足够的内在逻辑，一旦遇到具有充分高智能的生物，其环境总能自动地建立起来？
• 了不起的释读者
  • 「罗塞达碑」
  • 意义在多大程度上以可以预测的方式作用于只能，就在此程度上是对象的一部分
• 任何消息都分三层
  • 理解内在消息就是抽取出发送人所要传递的意义
  • 理解框架消息就是确认需要一种解码机制
  • 理解外在消息就是建造——或知道如何健在——能正确解译内在消息的解码机制
• 薛定谔的非周期性晶体结构
  • 如果我们再某处发现一个非常规则的几何结构中「包裹着」非周期性晶体结构，那里就可能隐藏着一些内在信息
• 三个层次行的语言
  • 如何从外部发现释读内在信息，如何在人们可能不知道内在信息解码机制的情况下，在外部信息中包括可以理解的解码机制？
• 意义的「自动唱机」理论
  • 这个观点认为：消息不包含固有意义，因为在任何消息被理解之前，它都会被用作某个「自动唱机」的输入，而这就意味着该「自动唱机」所包含的信息一定会在消息中的意义被获取之前加在它上面。
  • 悖论：但是人确实在理解一切，为什么？
• 反驳自动唱机理论
  • 这个无限循环的迭代在人脑这一关卡停止，因为大脑是物理实体，并且运转过程中无需被告知如何运转，所以悖论被打破
• 若智能是自然的，则意义是固有的
  • 在同样条件下，一个脑和另一和脑对一个给定的触发信号几乎产生完全一样的反应
  • 如果我们相信人类只能只不过是一种普遍存在的自然现象的一个特例，那么所有智能生物都趋向于以和我们永阳的方式对这些触发信号做出反应，即以同样的方式解读意义
• 地球沙文主义
  • 把意义归因于消息是出于：分布在宇宙各处的智能生物对消息所进行的处理具有不变性。但是这样考虑问题，会有地球沙文主义的嫌疑。
• 太空中的两块金属板
  • 长遗传型：所包含的信息足以使智能生物能够仅从遗传型中推出把表现型从遗传型中抽取出来所需要的机制。
• 再谈巴赫之别于卡奇
  • 智能喜爱模式化，厌恶随机性
  • 要欣赏卡奇的艺术「4分33秒」，那么需要把整个艺术文化史和大环境全部表达出去，但要欣赏巴赫的音乐就不需要很多
• DNA中的消息有多大的普遍性
  • DNA中的消息有限制地包含了一些其所在化学环境的信息
  • 如果DNA序列使用碱基序列符号传送出去的话，那么就完全无法回复其化学环境，也就不可能被破译

半音阶幻想曲，及互格

• 乌龟一直在自我矛盾，阿基里斯在为其指正，但阿基里斯最后居然被乌龟说服了

第七章 命题演算（注：百度百科词条「命题逻辑」）

• 词与符号
• 字母表和命题演算规则
  • 原子：演算过程中没有完全定义的placeholder，经常是大学英文字母或者小写希腊字母。一个原子没有固定的单一解释。
  • 联结规则、分隔规则、双弯号规则、幻想规则、搬入规则、分离规则、易位规则、德·摩根（deMorgan）规则和思维陀螺（斯维彻罗？）规则
• 良构串
  • 对于这个命题演算符号规则的一批例子
• 幻想规则和递归
  • 无中生有制造定理的规则，一切定理的开始规则，用「[」和「]」表示开始和结束
  • 幻想规则可以嵌套递归
• 符号的预期解释
  • 对于原子的解释可以随着本身意义多种多样，<PVQ>可以解释为：要么你请客，要么我请客（要么两人都付钱AA制）
  • 在命题演算中，所有的事情是纯粹「符号地」做出来的，完全机械的，不经思考的，硬性规定的，甚至是傻乎乎的。
• 对规则的论证
• 摆弄这个系统（由这些规则进行一步一步的推理）
• 半解释：直接读出定理而不对原子进行解释
• 岩头之斧（一个由禅宗公案而来的复杂推理的例子）
• 存在一个对定理的判定过程吗？
  • 命题演算的结果是简单的，没有内容的，甚至感觉是浪费时间的，也正因如此，才能确保它在任何可能世界中都是真的，确保它是切合宇宙核心真理的。
  • 判定过程：真值表方法（true table）
• 我们知道系统是一致的吗？哪些预期的解释是否有资格被称为符号的被动意义？
  • 严谨观点（只有证明命题演算和世界的一致性） vs 马虎观点（命题演算的额定义本身就说明了其一致性）
• 再谈卡罗尔对话（上一章中乌龟和阿基里斯的对话）
• 捷径与导出规则
  • 捷径：当一个定理被推倒证明了以后，就可以被用作一条新定理来证明其他的
  • 但是因为导出的规则是非形式地导出的，它是在系统之外的，所以走这样的捷径丢丢掉了系统的形式性。
• 将更高的层次格式化
  • 不能把不同层次的的推理混同在一起，就好像形式系统的语言和日常语言不能混淆一样
• 对系统的长处和短处的思考
  • 可以对它本身的一些性质进行研究
  • 命题演算能够很容易地扩充，把推理的其他一些主要的方面包括进来
• 证明之别于推导
  • 一个证明是某种非形式的东西
  • 一个推导是证明的人造对应物
  • 证明是简单的，是我因为每一步都看上去是对的；推导是简单的，是指它的无数步骤中的每一步都被认为是微不足道的
  • 命题演算应被当做是综合人工证明之类的结构的一般方法的一部分，它并没有很大的灵活性或一般性
• 对付矛盾
  • 当我们遇到了一个矛盾，更可能会对导致了矛盾思维的信仰或推理方式产生疑问，而不是根据矛盾进行命题演算而得出结论
  • 我们的思考方式和命题演算之间就存在着矛盾，也一直有人试图解决这种矛盾
    • 「相关蕴含」：仅当二者有关联的时候，一者才能由另外一者推导出

螃蟹卡农

• 巴赫的BWV1079：螃蟹卡农
• 模仿螃蟹卡农，所有人说的话在后半段以相反的顺序排列出来

第八章 印符数论

• 螃蟹卡农和间接自指
  • 印符数论TNT：Typographical Number Theory
• 我们希望在TNT中都能表示些什么
• 数字 - 以0 为基础，S代表「后继」
  • 0 - 0
  • S0 - 1
  • SS0 - 2
• 变元和术语
  • 变元：a,b,c,d,e,a’,a’’,b’''
  • 术语：加+、乘·、等=
  • 需要非常注意，不要把词语的普通意义和形式符号的严格手规则管辖的行为相混淆，尽管二者经常非常类似
• 自由变元与量词

  • 量词

    • <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: nowrap; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; float: none; background-color: rgb(255, 255, 255);">∃：exist 存在断言</span>
    • <div style="padding: 0px; color: rgb(0, 0, 0); word-break: keep-all; white-space: nowrap; -webkit-font-smoothing: antialiased; text-shadow: rgba(0, 0, 0, 0.00392157) 1px 1px 1px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; top: 6731px; left: 7297px; z-index: 350; background-color: rgb(255, 255, 255);">∀ ：any 全称断言

  • 量化变元：在量词管辖下的变元称为量化变元

  • 带有自由变元的串表达了一个性质，量化变元的串表达了一个真实或者虚假的断言

• 怎样区分真假
• 关于良构性的规则
  • 关于数字、变元、项（所有数字和变元以及其结合）、原子（如果s和t是项，s=t是原子）、否定、复合、量化的规则
• 一个非印符系统
  • 是否可能，以及如何印符地刻画所有对应于真理的串
• TNT的五条公理和第一条规则
• 皮亚诺五条公设：尽量把自然数的本质纳入到这五条公设支中
• TNT的新规则：特称和概括
  • 特称的限制：用来替换串∀u:x中的u的项必须不包含任何在x中被量化了的变元
  • 概括的限制：在一个幻想，不允许任何自由出现在该幻想的前提中的变元作概括
• 存在量词
  • 互换规则：∀u:~ 和 ~<span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: nowrap; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; float: none; background-color: rgb(255, 255, 255);">∃u:</span>
  • 存在规则
• 等号规则和后继规则
• 「全规则」
  • 如果在一个金字塔中的所有的串都是定理，那么，用来形容它们的全称量化的串同样也是定理。这一「全规则」的问题在于，只有从外部系统才能知道一个无穷集合的全部定理，所以超出了形式系统的范畴。
  • ω不完全系统与不可判定串
    • ω不完全：一个系统的金字塔中所有的串都是定理，而全称量化的概述串却不是一个定理。
• 最后一条规则
  • 有一个起点，并且可以真理可以层层推下，那么可以归纳为∀
  • 归纳规则：以0 为基础是真理，并且前一条真理（X{u}）指向了后一条真理(X{Su})，那么∀u:X{u}
• TNT中的紧张与解决
  • 数学推理中的美感和节奏
• 形式推理之别于非形式推理
  • 在进行了彻底形式化之后，唯一可行的到道路就是放松形式化原则。否则，形式系统会过于庞大而笨重，以至于对任何实际的目的而言都是毫无用处的。
  • 将所有思维模式放入TNT系统，对元语言进行形式化
• 数论学家赋闲：如果TNT是完全的，那么所有数论问题都完全能够用纯粹机械的穷举法来解决了
• 希尔伯特方案
  • 希尔伯特和他领导的数学和逻辑学家希望，能够通过比TNT的推理模式更弱的推理系统来证明TNT的一致性
  • 哥德尔定理证明：任何一个强得足以证明TNT的一致性的系统起码与TNT本身一样强

一首无的奉献

• 禅宗公案
  • 把公案（一个词语序列）变成一个折起的串（一种三维的东西）
    • 转录：用拼音写出该公案，这种拼音只包涵四种符号，翻译出来的形式成为信使
    • 翻译：利用「几何编码」，每三个几何符号决定了下一个折叠方式，将整个信使串完全折叠
  • 俱胝一指：对于模仿的反驳
• DNA

第九章 无门与哥德尔

• 什么是禅宗？
  • 没有任何办法能够刻画禅宗是什么。当试图用言语解释的时候，它总会跳到外面去
  • 「破坏逻辑头脑」：只有跨出逻辑，摆脱理论，人才能跃入顿悟境地
• 无门禅师
• 禅宗反对二元论的斗争
  • 二元论：把世界从概念上划分为种种范畴
    • 一旦你感知到一个客体，就已经把它与世界的其余部分化分开了
    • 词语把我们引向某些真理（或某些虚假），但肯定不能引向所有真理
• 主义、无方式以及云门
  • 「主义」：禅所追求的东西。反哲学的，一种摒弃思维的存在方式
  • 禅宗采纳整体论，并且推向逻辑的极端，认为整个世界根本不能被划分为一个个的事物，只能整体理解感悟
  • 顿悟状态意味着自我和宇宙之间的分界消失了
• 禅宗与堕界
  • 禅宗是一个系统，永远无法成为自己的元系统
  • 艾舍尔和禅宗
• 因陀罗之网：一切事物互相反映包含的网
• 无门论无
• WU谜题的解：只有两条规则影响到J的数量，而除非一开始J的数量就是3的倍数，否则它们永远产生不了3的倍数来，所以WU不是WJU系统的定理
• 哥德尔配数
  • 将任何形式系统的问题都嵌入到数论之中，以数论规则来理解和解决
  • 将每个符号都表示成一个数字，并且将规则用数字的变化规律表达出来
• 从印符和算术两个角度看问题
  • WJU系统可以视为一系列的音符操作，改变着符号的排列模式；也可以视为一系列算术运算，改变着数的量级
  • 中心命题：在十进制中，若有一条印符规则表示为在数中进行移动、改变、删除或者插入，那么可以用算术运算法则来将其替代
• WJU可产生的数
• 「无朋」的两重性
  • 「无朋」：一个谈论WU谜题的TNT超长（注：长到没朋友？）符号串
  • 两重性
    • 一个陈述可以通过哥德尔同构编码成一个数论问题（无朋成为编码消息）
    • 数论陈述可以翻译到TNT系统中去（编码的符号成为了TNT符号）
• 编码与隐含意义
  • 现实中不存在未编码的消息
  • 意义是在我们在辨认出同构时自动出现的副产品
• 对TNT进行哥德尔配数
  • TNT数会是一个递归可枚举集合
  • TNT试图吞掉自己：数论的形式化的本质导致其元语言嵌在其自身中
• G：以编码方式谈论自身的符号串
  • G就是TNT的不完全的原因（注：类似第一章中的艾皮曼尼蒂斯悖论，即说谎者悖论），它表发了一个真理，然而却不是一个定理