连续时间下的一般资产定价模型

2021-05-11 本文已影响0人 Boye0212

本文对连续时间下的资产定价模型进行介绍，并推导主要结论。

1 价格过程

在连续时间下，我们假设一项资产的收益率为：
$\dfrac{dp_t}{p_t}+\dfrac{D_t}{p_t}dt$
其中 $D_t$ 为在 $t$ 时间点的支付股息的比率， $D_t dt$ 即为在 $dt$ 时间内支付的股息。

我们用扩散过程（diffusion process）对它的价格进行建模：
$\dfrac{dp_t}{p_t}=\mu(\cdot)dt+\sigma(\cdot)dz$
其中 $dz$ 为标准布朗运动的增量，即 $z_{t+\Delta}-z_t\sim N(0,\Delta)$ 。Diffusion process是没有跳（jump）的，且增量 $dz$ 为正态分布，之所以作出该假设，是为了后面分析的方便。当然，由于 $\mu(\cdot)$ 与 $\sigma(\cdot)$ 是隐含变量的函数， $f(p_{t+\Delta}|I_t)$ 未必是正态分布。

在这样的假设下，我们先以无风险收益率为例，看这样的模型是怎样工作的。一方面，无风险资产可以看作是价格不变并始终以某个比率发放股息的资产，即 $p=1$ 且 $D_t=r_t^f$ ，另一方面，它也可以看作是不发放股息但价格按固定速度爬山的资产，即 $D_t=0$ 且 $\dfrac{dp_t}{p_t}=r_t^f dt$ ，这两种角度，对于最终的收益率是等价的。

2 一般均衡

接下来，与在离散时间中的思路一样，我们来看市场在一般均衡时的解。假设投资者的效用函数为
$U(\{c_t\})=\text{E}\left[\int_{t=0}^{\infty}e^{-\delta t}u(c_t) dt\right]$

假设投资者可以以价格 $p_t$ 购买某资产，一单位该资产的股息流（dividend stream）是 $D_t$ ，即在 $dt$ 时间内的股息为 $D_t dt$ 。如果投资者选择买入 $\xi$ 单位的该资产，那么在 $dt$ 内，他的单位时间消费就会是 $c_t=e_t-\xi p_t/dt$ ，他买入资产导致的效用损失应为 $u'(c_t)(e_t-c_t)dt=u'(c_t)\xi p_t$ ，而未来股息收入带来效用收益为 $\text{E}_t\left[\int_{s=0}^{\infty}e^{-\delta s}u'(c_{t+s}) \xi D_{t+s} ds\right]$ ，在达到均衡时，必有
$p_t u'(c_t) = \text{E}_t\left[\int_{s=0}^{\infty}e^{-\delta s}u'(c_{t+s}) D_{t+s} ds\right]$

连续时间下的“贴现因子”（discount factor）可定义为 $\Lambda \equiv e^{-\delta t} u'(c_t)$ ，在上式两边同乘 $e^{-\delta t}$ 后，就有
$p_t \Lambda_t=\text{E}_t \left(\int_{s=0}^{\infty} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds\right)$
该式右侧是在 $[0,\infty]$ 上的积分，可以将该积分区间划分为 $[0,\Delta)$ 和 $[\Delta,\infty)$ 两个部分：
$\begin{aligned} p_t \Lambda_t =& \text{E}_t\left( \int_{s=0}^{\Delta} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds+ \int_{s=\Delta}^{\infty} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds\right)\\ =& \text{E}_t\left( \int_{s=0}^{\Delta} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \right) + \text{E}_t \left[ \text{E}_{t+\Delta} \left( \int_{s=\Delta}^{\infty} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \right)\right]\\ =& \text{E}_t\left( \int_{s=0}^{\Delta} \Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \right) + \text{E}_t (p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta})\\ \approx& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta}) \end{aligned}$
最后一步是在 $\Delta$ 很小时候的近似。

我们可以进一步化简，并将上式变成微分的形式：
$\begin{aligned} p_t \Lambda_t =& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta})\\ p_t \Lambda_t =& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta}-p_t\Lambda_t + p_t\Lambda_t)\\ 0 =& \Lambda_t D_t \Delta + \text{E}_t(p_{t+\Delta} \Lambda_{t+\Delta}-p_t\Lambda_t)\\ 0 =& \Lambda_t D_t dt + \text{E}_t\left[d(p_t\Lambda_t)\right] \end{aligned}$

如果丢掉下标，可以简写为
$0=\Lambda D dt + \text{E}_t\left[d(\Lambda p)\right] \tag{1}$

$(1)$ 式可看作是 $p=\text{E}(mx)$ 的连续时间版本。为什么？若取 $D=0$ 且 $\Lambda$ 为常数，则有 $0=\text{E}_t\left(dp_t\right)=\text{E}_t\left(p_{t+\Delta}-p_t\right)$ ，此式就等价于说价格过程是一个martingale，即以边际效用加权的价格过程是一个martingale，而 $(1)$ 式就是加入了股息调整后的情况。对应到离散时间中，martingale过程即为 $p_t=\text{E}[m_{t+1}(p_{t+1+d_{t+1}})]$ 。

利用Ito's lemma： $d(\Lambda p)=p d\Lambda +\Lambda dp +dp d\Lambda$ ，代入 $(1)$ 并除以 $\Lambda p$ （假设它们均不为 $0$ ）后，有
$0 = \dfrac{D}{p} dt + \text{E}_t\left( \dfrac{d\Lambda}{\Lambda}+\dfrac {d p}{p} +\dfrac{d\Lambda}{\Lambda}\dfrac {d p}{p} \right) \tag{2}$

我们回到无风险利率，在第1节中说过，无风险资产可以看作价格 $p=1$ 并持续以 $D_t=r_t^f$ 发放股息的资产，或者是无息但价格按照 $dp_t/p_t=r^f_t dt$ 运动的资产。不管从哪个角度看，都可以将它们代回 $(1)$ 或 $(2)$ ，并得到
$r^f_t dt = -\text{E}_t \left(\dfrac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}\right)$

如果市场上不存在无风险债券，我们也可以用上式去定义一个影子无风险利率（shadow risk-free rate），或者叫zero-beta rate。上式其实就类似于离散时间中的 $R_t^f =\dfrac{1}{\text{E}_t(m_{t+1})}$ 。

将无风险利率代回 $(2)$ ，并整理后得：
$\text{E}_t (\dfrac{dp_t}{p_t})+\dfrac{D_t}{p_t}dt = r^f_t dt-\text{E}_t\left(\dfrac{d\Lambda_t}{\Lambda_t} \dfrac{dp_t}{p_t}\right) \tag{3}$

上式就类似于离散时间下的 $\text{E}(R) = R^f-R^f \text{Cov}(m,R)$ 。

3 再看贴现因子

本节我们再回到贴现因子 $\Lambda = e^{-\delta t} u'(c_t)$ 上。在离散时间中，消费与贴现因子的非线性关系很难处理，我们不得不用一些技巧来做出近似，但在连续时间下，可以用Ito's lemma很容易地处理非线性关系：
$d\Lambda_t = -\delta e^{-\delta t}u'(c_t)dt +e^{-\delta t} u''(c_t) d c_t +\dfrac{1}{2}e^{-\delta t} u'''(c_t) (dc_t)^2$
再除以 $\Lambda_t$ ：
$\dfrac{d\Lambda_t}{\Lambda_t} = -\delta dt + \dfrac{c_t u''(c_t)}{u'(c_t)} \dfrac{d c_t}{c_t} +\dfrac{1}{2}\dfrac{c_t^2 u'''(c_t)}{u'(c_t)} \left(\dfrac{dc_t}{c_t}\right)^2 \tag{4}$

我们定义
$\begin{aligned} \gamma_t=&-\dfrac{c_t u''(c_t)}{u'(c_t)}\\ \eta_t=&\dfrac{c_t^2 u'''(c_t)}{u'(c_t)} \end{aligned}$

将 $(4)$ 用 $\gamma$ 和 $\eta$ 表示后，代回到 $(3)$ ，可得：
$\text{E}_t \left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)+\dfrac{D_t}{p_t}dt - r^f_t dt = \gamma \text{E}_t\left(\dfrac{dc_t}{c_t} \dfrac{dp_t}{p_t}\right)$

从上式可以看出，一项资产的收益率如果与消费增长率同向变动，那么它就有更高的期望收益率。

令 $\mu_p=\text{E}_t\left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)$ ， $\sigma_p=\text{E}_t\left[\left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)^2\right]$ ， $\sigma_c=\text{E}_t\left[\left(\dfrac{dc_t}{c_t}\right)^2\right]$ ，由于相关系数必定小于 $1$ ，代回上式后有
$\dfrac{\mu_p+\dfrac{D_t}{p_t}dt - r^f_t dt}{\sigma_p} \le \gamma \sigma_c$

连续时间下的一般资产定价模型

1 价格过程

2 一般均衡

3 再看贴现因子

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