小题(难){计数原理,集合，子集，空集，全集}

以集合U = { a，b ，c，d }的子集中选出4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（ 1 ） 、U都要选出；
（ 2 ） 对选出的任意两个子集A和B ，必有A ⊆ B 或B ⊆ A，
那么共有 种不同的选法．

解：因为U，Φ都要选出
而所有任意两个子集的组合必须有包含关系
故各个子集所包含的元素个数必须依次递增
而又必须包含空集和全集
所以需要选择的子集有两个
设第二个子集的元素个数为1
有（a）（b）（c）（d）四种选法
（1）第三个子集元素个数为2
当第二个子集为（a）时
第三个子集的2个元素中必须包含a
剩下的一个从bcd中选取
有三种选法
所以这种子集的选取方法共有4×3=12种
（2）第三个子集中包含3个元素
同理三个元素必须有一个与第二个子集中的元素相同
共有4×3=12种
（3）第二个子集有两个元素
有6种取法
第三个子集必须有3个元素且必须包含前面一个子集的两个元素
有两种取法
所以这种方法有6×2=12种
综上一共有12+12+12=36种
故答案为：36．

这是乐乐课堂上的一个练习题，乐乐课堂的教学视频是我最近上课使用的重要素材，可以预见，未来的备课，一件重要的事情是选择优秀的教学视频（概念讲解，方法讲解），因为再精到的讲解无法达到，精到的讲解加生动的视频展示效果。另外未来教学系统的设计应该包括优秀的微课+练习数据采集+视频讲解。教师的水平将会体现在对认知过程的设计。教师的角色：有经验的学习者，有经验的学习路径设计者，有经验的问题解决者。