怎么判断函数奇偶性

2020-06-30 本文已影响0人天马无空

函数奇偶性的判断

使用情景：一般函数类型
解题步骤：
第一步确定函数的定义域；
第二步判断其定义域是否关于原点对称；
第三步若是，则确定 $f(x)$ 与 $f(-x)$ 的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第四步得出结论.

例判断下列函数的奇偶性：
(1) $f(x)=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{x^2-9}$

(2) $f(x)=(x+1)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$

(3) $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{|x+3|-3}$

解：(1)由 $\begin{cases}9-x^2 \geqslant 0 \\x^2-9 \geqslant 0 \end{cases}$ ，得 $x=\pm 3$

$\therefore f(x)$ 的定义域为 $\{-3,3\}$ ，关于原点对称

又 $f(3)+f(-3)=0$ ， $f(3)-f(-3)=0$ ，

即 $f(-x)=\pm f(x)$ 。

$\therefore f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数.

(2)由 $\begin{cases}\dfrac{1-x}{1+x} \geqslant 0 \\1+x \neq 0\end{cases}$ ，得 $-1<x \leqslant1$ ，

$\because f(x)$ 的定义域 $(-1,1]$ 不关于原点对称.

$\therefore f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数.

(3)由 $\begin{cases}4-x^2 \geqslant 0 \\|x+3|-3 \neq 0 \end{cases}$ ，得 $-2 \leqslant x \leqslant 2$ 且 $x \neq 0$

$\therefore f(x)$ 的定义域为 $[-2,0) \cup (0,2]$ ，关于原点对称.

$\therefore f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{(x+3)-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x}$

$\therefore f(-x)=\dfrac{\sqrt{4-(-x)^2}}{-x}=-\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x}=-f(x)$

$\therefore f(x)$ 是奇函数.

【注意】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数的定义域是否关于原点对称.若对称，再验证 $f(-x)=\pm f(x)$ 或其等价形式 $f(-x)\pm f(x)=0$ 是否成立.

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