数学内容归纳

2022-10-30  本文已影响0人  Obj_Arr

想到一个好主意,能否将数学的各个领域的知识串起来,通过一些简单应用场景。

维度

维度在很多地方出现,基本的是向量空间,接下来是函数空间,然后是代数构造里面的张量代数,多项式代数,还有拓展的微分流形,抽象流形,群的层级结构,分次代数结构。这里面有个问题,维度和次数是不是一样的,维度的代数性质,加法,乘法。整体上构成了一种计数,分类性质。所以,遇见所有的涉及计数和分类的问题,自然的考虑维度构造。

连续

如果说维度本质上是离散性质,那么连续是非常经典的构造。最初就是微积分,然后是拓扑,还有曲线,曲面,流形,以及抽象代数结构的完备化与拓扑构造。这里的问题可能就是连续的分类问题,一种是拓扑的好坏,这也是连续性的基础,一种是边界问题,毕竟连续的东西如果无穷大就没什么意义了。整体上构成一种现实的近似,毕竟现实中的事物一般都是平滑过渡的,因此应用也是非常广的。

微分方程

侧重于应用,物理方程,化学方程,许许多多的自然规律都可以通过微分方程近似,也是非常重要的构造。最初是单变量的常微分方程,然后是多变量的偏微分方程,还有从线性方程到非线性方程,这些方程也自然的定义出了函数类,满足某种微分方程的函数集合。其中的问题可能是求解办法,或者仅仅是解的表示方法,整体上表现一种事物连续变化的性质,几乎所有的自然现象都可以用它来建模。

概率

对不完备信息的处理,应用于各种困难问题,决策,规划,预测,探索。这种构造是在杂乱信息中寻求有价值的规律,信息越丰富,规律就越可靠。如果遇见非常困难的问题,使用它准没错,可以多提供一些信息,或者多一些合理猜测。整体上是对未知事物的一种近似,所以面对未知的事物,放心使用。

组合

对规律的简化,组合数学主要关注于如何确定行为的可能组合数目,本质上就是如何根据限制条件,简化搜索空间,所以和概率经常结合使用,构成了古典概率的内容。还有就是算法,毕竟简化搜索就是提升效率。

逻辑

逻辑是科学的坚实基础,关注于如何从假设抵达结论,所有的数学内容都是在逻辑的框架下展开的。逻辑表现在推理的合理性,结果的可靠性,推理系统的完备性,看起来不知如何使用,但是确实保证了操作的合规,就像程序一样,无论怎样操作,都不会导致崩溃。所以,还是非常重要的。建设完成之后,反而是意识不到了。

映射

映射是现代数学的典型特征,将一个领域的知识直接投射过来,形成新的知识,提出新的问题。这里面的内容太丰富了,比如将几何中的坐标系投射到函数空间中,获得函数坐标系,这就是正交函数系的概念,比如将代数中的群,模,域建立在几何空间中,获得几何体的群,模,域,这就是同调代数手段,比如将几何中的点,线,面,交点等概念应用到函数方程组构成的解空间中,获得解集,公共解集,零点集,这就是代数几何的手段。还有将群运算应用于几何变换中,这就是群表示的内容。所有的这些都是非常新的观点,放在古典数学中,每一个都将被质疑数十年,然后不得不接受,现在变成了非常自然的想法。

抽象映射

这是真正的前沿,脱离了想象力的极限,通过商结构构建相等,或者相似的对象,通过映射结构建立对象的特征量,通过特征量的变换获得对象的变换,虽然一切都无法想象,但是,可以在逻辑上建立合理的代数运算体系。这才是纯粹数学,一个不可实见的东西,仅能从感觉上把握。范畴语言是打开这扇大门的钥匙。不过,这些东西过于抽象,是缺乏了实体的规则演绎,即使是学习数学的人大概率也是不感兴趣的。只是,要解决一些有实体意义的问题,总会面对这样的数学怪物,比如选择公理,乌雷松引理,不可理解但是非常强大。

插曲

想起了不久之前看到的可描述问题层级,所有的数学问题可以按照描述的复杂度划分,有限描述问题,一阶语言可描述问题,二阶语言可描述问题,...n阶语言可描述问题,现在的数学问题,大部分是有限描述问题,或者一阶语言可描述问题,一部分是二阶语言可描述问题,后面的几乎没有。所以,数学的终点深不可及。假如每一个问题都可以附加一个背景,作为现实意义,那么意义结构的终点也是深不可及。面对这样的不可达的现实,总会怀疑学习数学的意义所在,如果目的是掌握所有,那必然不可能实现,即使目的是了解所有,也是不可能的,从基本规律上了解所有,其实也是不可能的。所以,学习数学怀有的任何终极目的其实都是无意义的,只是在眼界狭隘的时候意识不到罢了。那么留下来的就只能是有限目的,解决某一个问题,学会某一种方法,获得某种荣誉,得到人们的崇拜,或者过程论,只是乐在其中。若能乐在其中,不为其他所动,无疑是极大的精神享受。

上一篇下一篇

猜你喜欢

热点阅读