奇异同调

今天突然有所触动，又开始看代数拓扑了，可以看懂的又多了一些。
首先是同伦，这个没什么可讲的，道路同伦，映射同伦，同伦等价，基本群，圆周的基本群，覆盖空间，拓扑群和离散子群。这是基础，用来熟悉代数拓扑的研究手段，将拓扑性质与代数性质联系起来，通过函子，拓扑上的同伦对应于代数上的同构，拓扑三角形，对应代数三角形，这一套总算是看明白了。
奇异同调是在单纯同调的基础上展开的，将单形替换为单形的映射，对应的单形的面，边界映射，链复形，同调群。这部分抽象程度很高，一个是基本单元，也就是奇异单形层面的运算，包括取面，取边界，相互间映射，一个是基本单元的线性扩张，也就是奇异链复形层面的计算，同样包括取边界，链之间的映射，最后才是拓扑到代数的转换，从链复形转换为同调群，边缘链群，闭链群，闭链群商边缘链群就是同调群，闭链群可以认为刻画了空间中的洞，边缘链群则是边界构成的洞，经过商构造后，留下的就是内部的洞，内部的洞一样多，也就是同调的。只不过，并没有那么简单，因为奇异单形经过了一层映射，所以直观的看法未必正确，比如对于单点拓扑空间，看起来没有洞，那有没有边缘呢？直观上觉得不应该有，毕竟点那里有边呢，但结果是有的，偶数次有边，奇数次没边，这就很难从图像上理解。当然他是没有洞的，所以各次同调群是平凡的。
然后是相对同调，这个相对是很有意思的，是对拓扑空间构造商，忽略某一子空间的情况下，考察拓扑空间的性质，这就带来了更多的可能性，可以将一个大空间分出几个小空间，分别考察，然后组合起来。这也是同调代数的引入点，同调代数是与模的性质密切相关的，模的性质与两个函子有关，hom和tensor，这好像就到了上同调的部分，这部分还看不懂。还有一个性质就是直和分解，两个小模经过直和构成一个大模，这个性质和正合序列，裂正合关系很大，涉及正合序列，自然就会出现正合同调序列还有蛇引理，图表追踪之类的内容，相对同调相比于完全抽象的同调代数，就显得比较具体，一个是子空间，一个是空间商去子空间。所以，同调代数最好还是在代数拓扑后面学比较好，这让我想起来经典微分几何和现代微分几何的关联，好像也是这样，经典的内容为抽象的现代理论提供形象化基础。涉及现代数学的东西往往是完全抽象的，然后被应用于非常陌生的地方，所以，后面的深奥的数学理论根本就是看不懂的，需要前面不太深奥的数学内容作为可想象的基础，但这个不太深奥也是相对而言的，比如实分析，用来深化为测度论，曲面的微分几何，用来深化为流形上的微分几何，代数拓扑，深化为同调代数。但是前面这三门课程恐怕称不上初等。后面的三门课也算不得前沿。
这就是数学很麻烦的地方，一环套一环，总也看不到尽头。也算是好事，毕竟看到了尽头就要自己动手了。
然后是同伦和同调的关系，同伦必同调，正如同胚必同伦，是逐渐细化的过程。同伦的主要问题就在于高维同伦群的复杂性，同调将这种复杂性大大简化了，所以发展的很快，毕竟同调群都是交换群。不过好像有同伦代数，借助于无穷范畴的概念又变成了热门，不过，这是真正的前沿知识，目前是看不懂的。而且，与现实相差极远，是为了解决数学理论中的某些困难而提出的，这也是一向的发展规律，并不是为了应用于什么领域而研究什么问题，而是为了解决自身的问题，比如计算的复杂性，概念的精确性，理论的系统性。毕竟现实并不需要多么精确的结果，盲目追求这种精确反倒会使得系统过于敏感而不够稳定。
奇异同调还剩下一些内容，等有时间再看。