三.广义线性模型

背景：

背景
广义线性模型通过拟合响应变量的条件均值的一个函数（不是响应变量的条件均值），假设响应变量服从指数分布族中的某个分布（并不仅限于正态分布），极大地扩展了标准线性模型。模型参数估计的推导依据的是极大似然估计，而非最小二乘法。以下为两者比较：
比较

三.1 广义线性模型和 glm()函数

在广义线性模型中，可放松Y为正态分布的假设，改为Y服从指数分布族中的一种分布即可：

glm()参数

连用的函数：

glm()连用函数

三.2模型拟合和回归诊断

目前没有标准的方法。对于诊断图来说，当响应变量有许多值时，诊断图非常有用；而当响应变量只有有限个值时（比如Logistic回归），诊断图的功效就会降低很多。

四.Logistic 回归

理解logistic回归是广义线性模型的一种。

拟合模型

以AER包中的数据框Affairs为例，我们将通过探究婚外情的数据来阐述Logistic回归的过程。

fit.full <- glm(ynaffair ~ gender + age + yearsmarried + children +
religiousness + education + occupation +rating,
data=Affairs, family=binomial())
summary(fit.full)

结果

重点看回归系数的p值。
重新拟合只纳入age、yearsmarried、religiousness和rating的模型fit.reduced.之后可以用anova()函数对它们进行比较(优于是嵌套函数)(AIC不需嵌套)。

解释模型参数：

解释模型参数

可以看到婚龄增加一年，婚外情的优势比将乘以1.106（保持年龄、宗教信仰和婚姻评定不变）。

评价预测概率对模型影响：

predict()函数。

过度离势

p289

Logistic回归的变种

如果响应变量包含两个以上无序类别（比如，已婚/寡居/离婚）；若响应变量是一组有序的类别（比如，信用风险为差/良/好），分别用什么logistic回归。

五.泊松回归

我们将使用robust包中的Breslow癫痫数据（ Breslow， 1993）。特别地，我们将讨论在治疗初期的八周内，抗癫痫药物对癫痫发病数的影响。(癫痫发病次数符合泊松回归)

加载数据

fit <- glm(sumY ~ Base + Age + Trt, data=breslow.dat, family=poisson())
summary(fit)

解释模型参数

解释参数

过度离势

p292

> library(qcc)
> qcc.overdispersion.test(breslow.dat$sumY, type="poisson")
#Overdispersion test Obs.Var/Theor.Var Statistic p-value
#poisson data 62.9 3646 0

显著性检验的p值果然小于0.05，进一步表明确实存在过度离势，因此用family="quasipoisson"替换family="poisson"。

泊松回归变种

1. 时间段变化的泊松回归
   固定长度，使用glm()函数中的offset选项。
   2.零膨胀的泊松回归
   可以把该模型看作Logistic回归（预测结构零值）和泊松回归（预测无结构零值观测的计数）的组合。 pscl包中的zeroinfl()函数可做零膨胀泊松回归。
   3.稳健泊松回归
   当存在离群点和强影响点时，该方法会很有效。